Question

Qual o valor do determinante de ordem 3 a seguir? *
Imagem sem legenda
a)0
b)108
c)–215
d)192
e)–345​

Answer 1

Resposta:

Utilizando definições de calculo de determinante de matrizes, obtemos que:

1) Determinante vale -8, letra D.

2) 'a' vale -2 ou 2, letra A.

Explicação passo-a-passo:

1)

Quando multiplicamos duas matrizes, o resultado sempre deve ser da forma:

A_{n\times m}\times B_{m \times o}=C_{n \times o}A

n×m

×B

m×o

=C

n×o

Ou seja, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, e o resultado tem o número de linhas de A e o número de colunas de B, pois durante o processo de multiplicação de A com B, a coluna de A e as linhas de B se perdem, pois essas se multiplicam, da forma:

C_{i,j}=\sum_{n=1}^{max}A_{i,n}B_{n,j}C

i,j

=∑

n=1

max

A

i,n

B

n,j

Para ficar mais facil vamos fazer a conta em si e entender. Temos as matrizes:

\begin{gathered}A=\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} \quad ; \quad B = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\end{gathered}

A=

∣

∣

∣

∣

∣

−1

0

0

2

1

−2

∣

∣

∣

∣

∣

;B=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

1

0

−1

2

1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Assim vemos que estas matrizes são validas, pois o número de colunas de A é igual a o número de linhas de B, então elas podem se multiplicar e terão como resultado um matriz 2x2, da forma:

\begin{gathered}C=A\times B=\begin{vmatrix} [2\cdot (-1) + 1\cdot 0 + 0 \cdot 1] & [(-1)\cdot (-1)+ 2\cdot 0 + 1\cdot 1] \\ [2\cdot 0 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2)] & [(-1)\cdot 0 + 2\cdot 2 + 1 \cdot (-2)] \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 &2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}\end{gathered}

C=A×B=

∣

∣

∣

∣

∣

[2⋅(−1)+1⋅0+0⋅1]

[2⋅0+1⋅2+0⋅(−2)]

[(−1)⋅(−1)+2⋅0+1⋅1]

[(−1)⋅0+2⋅2+1⋅(−2)]

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

−2

2

2

2

∣

∣

∣

∣

∣

Assim para encontrarmos o determinante desta matriz, basta multiplicarmos a sua coluna principal e subtrairmos a multiplicação da coluna secundaria:

\begin{gathered}C= \begin{vmatrix} -2 &2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}\end{gathered}

C=

∣

∣

∣

∣

∣

−2

2

2

2

∣

∣

∣

∣

∣

detC= -2\cdot 2 - 2\cdot 2 = -8detC=−2⋅2−2⋅2=−8

Assim temos que o determinante desta matriz que resultado da multiplicação de A e B é igual a -8, letra D.

2)

Então temos que nos foi dada a matriz, que chamarei aqui de A:

\begin{gathered}A = \begin{vmatrix} 1+a & -1 \\ 3 & 1-a \end{vmatrix}\end{gathered}

A=

∣

∣

∣

∣

∣

1+a

3

−1

1−a

∣

∣

∣

∣

∣

Como já vimos anteriormente, uma matriz dois por dois, tem sua determinante calculada pela multiplicação da diagonal principal subtraída da multiplicação da sua diagonal secundária, assim fazendo este calculo temos que nossa determinante é igual a:

detA = ( 1 + a ) . ( 1 - a ) - ( - 1 ) . ( 3 )

detA = 1 - a + a - a² + 3

detA = 4 - a²

E queremos que este determinante seja nulo, ou seja, igual a 0, para isso ficamos com:

0 = 4 - a²

a² = 4

Assim note que esta é uma equação de segundo grau simples com resultado trivial, porém cuidado, pois lembre-se que número negativos ao quadrado também tem resultado positivo, ou seja, esta equação tem dois resultado, um é a raíz de 4 e outro é menor raíz de 4:

a' = - 2

a'' = 2

Pois note que ambos os números ao quadrado tem resulto igual a 4.

Assim temos que o valor de 'a' para a determinante ser nula é de -2 ou 2, letra A.