Question

Qual o valor de x que satisfaz a equação: 2^(x-1) + 2^(x-2) + 2^(x-3) = 49​

Answer 1

Para resolver esta equação e achar o valor de x, precisamos relembrar o conceito de logaritmo:

$\log_a b = c \implies a^c = b$

Resolvendo:

$2^{(x-1)} + 2^{(x-2)} + 2^{(x-3)} = 49$

$2^{x-3} \cdot\left(2^{2}+2^{1}+1\right) = 49 \\~$

$2^{x-3}\cdot(4+2+1) = 49$

$2^{x-3} = \dfrac{49}{7}$

$2^{x-3} = 7$

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

$\log 2^{x-3} = \log 7$

$(x-3)\cdot \log 2 = \log 7$

$x-3 = \log_2 7$

$x = \log_2 7 +3$

$x = \log_2 7 \cdot 8$

$\boxed{x = \log_2 56}$

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Answer 2

Temos uma equação exponencial, pois x esta presente no expoente. Nosso objetivo é determinar o valor de x para que satisfaça a equação

$~~$

$\begin{array}{l}\sf 2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}=49\end{array}$

Podemos colocar o fator comum 2^(x-3) em evidência:

$\begin{array}{l}\sf 2^{x-3}\cdot(2^{2}+2+1)=49\\\\\sf 2^{x-3}\cdot(4+2+1)=49\\\\\sf 2^{x-3}\cdot7=49\\\\\sf \dfrac{2^{x-3}\cdot \cancel{7}}{\cancel{7}}=\dfrac{49}{7} \\\\\sf 2^{x-3}=7\end{array}$

Veja que as bases são diferentes, portanto não é possível igualar os expoentes

Assim será necessário o uso do logaritmo pois ele permite que possamos tirar o x do expoente e encontrar o seu valor. Veja algumas propriedades usadas aqui:

• log (aᵇ) <=> b . log (a)

• [ log (b) ]/[ log (a) ] <=> logₐ (b)

• 1 <=> logₐ a

• log a + log b <=> log a.b

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Assim, aplicando logaritmo em ambos os lados:

$\begin{array}{l}\sf log~(2^{x-3})=log~(7)\\\\\sf (x-3)\cdot log~(2)=log~(7)\\\\\sf \dfrac{(x-3)\cdot \cancel{log~(2)}}{\cancel{log~(2)}}=\dfrac{log~(7)}{log~(2)}\\\\\sf x-3=\dfrac{log~(7)}{log~(2)}\\\\\sf x-3=log_{\:2}~(7)\\\\\sf 3+x-3=log_{\:2}~(7)+3\\\\\sf x=log_{\:2}~(7)+3\\\\\sf x=log_{\:2}~(7)+3\cdot1\\\\\sf x=log_{\:2}~(7)+3\cdot log_{\:2}~(2)\\\\\sf x=log_{\:2}~(7)+log_{\:2}~(2^3)\\\\\sf x=log_{\:2}~(7)+log_{\:2}~(8)\\\\\sf x=log_{\:2}~(7\cdot8)\\\\\boldsymbol{\!\boxed{\sf x=log_{\:2}~(56)}}\end{array}$

$~~$

Resposta: x é igual a log₂ (56)

$~~$

Att. Nasgovaskov

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