Question

Qual o valor de x na equação ( x - 5 ) + ( x - 2 ) + ... + ( x + 31 ) = 221, sabendo que as parcelas do primeiro membro formam uma progressão aritmética?

Answer 1

Olá!

Temos:

(x-5)+(x-2)+...+(x+31) = 221 (I)

Se as parcelas formam uma PA, então temos:

PA(x-5,x-2,...,x+31) 

Sabemos que:

r = a₂-a₁ = x-2 - (x-5) = x-2-x+5 = 3

Logo, podemos dizer que:

an = a₁+(n-1).r 
x+31 = x-5+(n-1).3 
x-x+31+5 = 3n-3 
3n = 36+3 
3n = 39
  n = 39/3
  n = 13

Logo, vamos descobrir a soma dos 13 termos, ou seja:

Sn = (a₁+an).n / 2
S₁₃ = (x-5+x+31).13 / 2 
S₁₃ = (2x+26).13 / 2 
S₁₃ = 26x+338 / 2 
S₁₃ = 26x/2 + 338/2
S₁₃ = 13x + 169

Logo, em (I), ficaremos com:


13x+169 = 221 
13x = 221-169 --> Resolvendo:
13x = 52
    x = 52/13
    x = 4

Espero ter ajudado! :)