Question

Qual o valor de x na equação log √7x+ 3 + log √4x + 5 = 1/2+ log 3?

resposta: D

Answer 1

O valor de X para a igualdade ser verdadeira na equação $\log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\dfrac{1}{2} +\log \left(3\right)$ é $\boxed{1}$

alternativa D)

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos uma questão de equação logarítmica

Antes de começarmos temos que ter noção das seguintes propriedades do Logaritmo

$Log_a(a)=1$

$Log_a(a^b)=b$

$Log_a(b)+Log_a(c)= Log_a(b\cdot c)$

$Log(a)=Log(b)\Rightarrow a=b$

• Lembre-se quando o log não aparece a base quer dizer que a base é 10

Com isso em mente vamos resolver a questão

$\log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\dfrac{1}{2} +\log \left(3\right)$

Bem perceba que todas as parte da equação estão com Log, menos o $\dfrac{1}{2}$. Mas, podemos transforma esse $\dfrac{1}{2}$ em Log aplicando a propriedade $Log_a(a^b)=b$

Como a base do Log é 10 podemos reescrever  $\dfrac{1}{2}$ como  

$\log(10^{\frac{1}{2} })$

Então ficamos com a seguinte expressão

$\log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\dfrac{1}{2} +\log \left(3\right)\\\\\\\\\boxed{log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\log(10^{\frac{1}{2} }) +\log \left(3\right)}$

agora aplicando as propriedade $Log_a(b)+Log_a(c)= Log_a(b\cdot c)$ temos

$log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\log(10^{\frac{1}{2} }) +\log \left(3\right)\\\\\\\boxed{\log ((\sqrt{7x+3})\cdot (\sqrt{4x+5}))=\log(10^{\frac{1}{2} }\cdot 3)}$

agora aplicando a propriedade  $Log(a)=Log(b)\Rightarrow a=b$ temos

$\log ((\sqrt{7x+3})\cdot (\sqrt{4x+5}))=\log(10^{\frac{1}{2} }\cdot 3)\\\\\\\boxed{\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 10^{\frac{1}{2} }\cdot 3}$

Perceba que agora não temos mais uma questão Logarítmica e sim  uma equação irracional

agora vamos resolve-la , lembre-se que $10^{\frac{1}{2} } = \sqrt{10}$

$\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 10^{\frac{1}{2} }\cdot 3\\\\\\\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= \sqrt{10} \cdot 3\\\\\\\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 3\sqrt{10} \\\\\\(\left\sqrt{7x+3}\right)^2\cdot \left(\sqrt{4x+5}\right)^2= \left(3\sqrt{10}\right )^2\\\\\\(7x+3)\cdot (4x+5)= 9\cdot 10\\\\\\28x^2+47x+15=90\\\\\\28x^2+47x+15-90=0\\\\\\\boxed{28x^2+47x-75=0}$

Bem perceba que agora temos uma equação do 2°  

Bem vamos para resolver equação do 2° existem vários métodos, vou resolver por Bhaskara

$28x^2+47x-75=0\\\\A=28\\\\B=47\\\\C=-75$

$\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c} }{2\cdot a} \\\\\\\dfrac{-(47)\pm \sqrt{47^2-4\cdot 28 \cdot -75} }{2\cdot 28}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{47^2+8400} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{2209+8400} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{10609} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm 103 }{56}\\\\\\X_1= \dfrac{-47+103}{56}\Rightarrow\dfrac{56}{56}\Rightarrow \boxed{1} \\\\\\X_2=\dfrac{-47-103}{56}\Rightarrow\boxed{\dfrac{-150}{56} }$

Então encontramos duas soluções para X

ele pode ser 1 ou $\dfrac{-150}{56}$ mas lembre-se o Logaritimando não  pode ser negativo o que faz a segunda solução ser impossível, Logo a única solução é X=1

Vamos olhar as alternativas, perceba que a alternativa D bate perfeitamente com nosso resultado

Pois 1 é o divisor universal de qualquer número inteiro, porque podemos dividir qualquer número inteiro por 1

• Cálculos formais :

$\log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\dfrac{1}{2} +\log \left(3\right)$

$log \left(\sqrt{7x+3})+\log(\sqrt{4x+5}\right) =\log(10^{\frac{1}{2} }) +\log \left(3\right)$

$\log ((\sqrt{7x+3})\cdot (\sqrt{4x+5}))=\log(10^{\frac{1}{2} }\cdot 3)$

$\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 10^{\frac{1}{2} }\cdot 3$

$\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 10^{\frac{1}{2} }\cdot 3\\\\\\\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= \sqrt{10} \cdot 3\\\\\\\sqrt{7x+3}\cdot \sqrt{4x+5}= 3\sqrt{10} \\\\\\(\left\sqrt{7x+3}\right)^2\cdot \left(\sqrt{4x+5}\right)^2= \left(3\sqrt{10}\right )^2\\\\\\(7x+3)\cdot (4x+5)= 9\cdot 10\\\\\\28x^2+47x+15=90\\\\\\28x^2+47x+15-90=0\\\\\\\boxed{28x^2+47x-75=0}$

$\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c} }{2\cdot a} \\\\\\\dfrac{-(47)\pm \sqrt{47^2-4\cdot 28 \cdot -75} }{2\cdot 28}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{47^2+8400} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{2209+8400} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm \sqrt{10609} }{56}\\\\\\\dfrac{-47\pm 103 }{56}\\\\\\X_1= \dfrac{-47+103}{56}\Rightarrow\dfrac{56}{56}\Rightarrow \boxed{1} \\\\\\X_2=\dfrac{-47-103}{56}\Rightarrow\boxed{\dfrac{-150}{56} }$

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