Question

Qual o valor de $\mathrm{tg \ 20^o}.\mathrm{tg \ 40^o}.\mathrm{tg \ 80^o}$?

Answer 1

Olá, Felipe.

Fatorando a fórmula da tangente do arco triplo, temos:

$\tan 3\theta=\\\\=\frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1-3 \tan^2\theta}=\\\\=\frac{\tan\theta(3 - \tan^2\theta)}{(1 +\sqrt3 \tan\theta)(1 -\sqrt3 \tan\theta)}=\\\\=\frac{\tan\theta(\sqrt3 - \tan\theta)(\sqrt3 + \tan\theta)}{(1 +\sqrt3 \tan\theta)(1 -\sqrt3 \tan\theta)}=$

$=\tan\theta\cdot\frac{(\sqrt3 - \tan\theta)(\sqrt3 + \tan\theta)}{(1 +\sqrt3 \tan\theta)(1 -\sqrt3 \tan\theta)}=\\\\=\tan\theta\cdot\frac{(\sqrt3 - \tan\theta)}{(1 +\sqrt3 \tan\theta)}\cdot\frac{(\sqrt3 + \tan\theta)}{(1 -\sqrt3 \tan\theta)}$

$=\tan\theta\cdot\frac{(\tan60\º - \tan\theta)}{(1+\tan60\º\tan\theta)}\cdot\frac{(\tan60\º+ \tan\theta)}{(1-\tan60\º\tan\theta)}=\\\\=\tan\theta\cdot\tan(60\º-\theta)\cdot\tan(60\º+\theta)$

Portanto, vale a relação:

$\tan3\theta=\tan\theta\cdot\tan(60\º-\theta)\cdot\tan(60\º+\theta)$

Fazendo $\theta=20\º,$ temos:

$\tan3\cdot20\º=\tan20\º\cdot\tan(60\º-20\º)\cdot\tan(60\º+20\º)\Rightarrow\\\\ \tan60\º=\tan20\º\cdot\tan40\º\cdot\tan80\º\Rightarrow\\\\ \boxed{\tan20\º\cdot\tan40\º\cdot\tan80\º=\sqrt3}$