Question

qual o valor de p para que a função f (x)=(4p-2)x2+2x-1 tenha concavidade voltada para baixo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Francinaldo, que a resolução é simples.

Pede-se o valor de "p" para que o gráfico da função abaixo tenha concavidade voltada pra baixo:

f(x) = (4p-2)x² + 2x - 1 .

Antes veja que uma equação do 2º grau tem o seu gráfico representado por uma parábola, que tanto poderá ter a sua concavidade voltada pra baixo ou pra cima.
Vamos informar quando ocorre uma coisa e outra. Considere uma equação do 2º grau da forma f(x) = ax² + bx + c. Assim, teremos: 

i) a parábola terá a concavidade voltada pra baixo se o termo "a" for negativo (o termo "a" é o coeficiente de x²) e, assim, teremos um ponto de máximo;
ii) a parábola terá a concavidade voltada pra cima se o termo "a" for positivo e, assim, teremos um ponto de mínimo.

Tendo, portanto, o que se disse aí em cima como parâmetro, então o gráfico da equação da sua questão, que é f(x) = (4p-2)x² + 2x - 1, terá a concavidade voltada pra baixo se o termo "a" for negativo (< 0). E veja que o termo "a" da função dada é o coeficiente de x², que, no caso é: (4p-2).
Então vamos impor que (4p-2) seja negativo ( < 0). Assim:

4p - 2 < 0
4p < 2
p < 2/4 ----- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

p < 1/2  ----- Pronto. Esta é a resposta. Para que o gráfico da função dada na sua questão tenha a concavidade voltada pra baixo o valor de "p" deverá ser menor que "1/2".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.