Question

Qual o valor de m para que o polinômio P(x) = x³ + mx² - x - 3 =0 possua raízes em P.A de razão 2

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Equações Algébricas e Relações de Girard, concluímos que, para atender as condições pedidas, o valor de m deve ser 3.

☛     Vamos usar as relações entre as raízes e os coeficientes de um polinômio. Para um polinômio de grau 3,  $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \ a\neq 0$ , sejam  $\alpha$ ,  $\beta$  e  $\gamma$  as raízes. As relações são:

$\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a} ;\\\\\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =\frac{c}{a} ;\\\\\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}\end{array}$

➜     Na sua questão, temos  a = 1 , b = m, c = -1  e  d = - 3

Como as raízes estão em uma PA de razão = 2, vamos chamar as raízes de  $\alpha-2$ ,  $\alpha$  e  $\alpha+2$

♦︎     Pela primeira relação:

$\alpha -2+\alpha +\alpha +2=-\frac{m}{1} \Longrightarrow 3\alpha =-m\ \ \ ...( 1)$

♦︎     Pela segunda relação:

$\begin{array}{l}( \alpha -2) \alpha +\alpha ( \alpha +2) +( \alpha -2)( \alpha +2) =\frac{-1}{1} \Longrightarrow \\\\\Longrightarrow \alpha ^{2} -2\alpha +\alpha ^{2} +2\alpha +\alpha ^{2} -4=-1\\\\\Longrightarrow 3\alpha ^{2} =3\\\\\Longrightarrow \alpha =\pm 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...( 2)\end{array}$

♦︎     E pela terceira relação,  $( \alpha -2)( \alpha +2) \alpha =-( -3) =3$

➜     Se  $\alpha=1$ , temos  $( 1 -2)( 1 +2) \cdot 1 =3$ , o  que resultaria  $-3=3$ , que é falso.

➜     Se  $\alpha=-1$ ,  $( -1 -2)( -1 +2) \cdpt (-1) =3 \Rightarrow3=3$

Portanto,  $\alpha=1$  e as raízes são  - 3,  - 1  e  1 . E substituindo $\alpha=-1$  na equação (1) ,  $m=3$

∴     O valor de m é 3   ✍️

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