Question

Qual o valor de m para que essa equação ,
f(x)=(m+1)x²+(2m+3)x+(m-1), tenha uma unica raiz real?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Pinduca, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor de "m" para que a equação abaixo tenha uma única raiz real (na verdade são duas raízes reais e ambas iguais):

f(x) = (m+1)x² + (2m+3)x + (m-1)

Antes de iniciar, veja que se uma função quadrática terá uma única raiz real (ou duas raízes reais e ambas iguais) basta que tenhamos o seu delta (b²-4ac) igual a zero. No caso da função da sua questão tem-se que o delta (b²-4ac) é este: (2m+3)² - 4*(m+1)*(m-1) . Assim, vamos impor que este delta seja igual a zero. Então, fazendo isso, teremos:

(2m+3)² - 4*(m+1)*(m-1) = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
4m²+12m+9 - 4*(m² - 1) = 0 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
4m²+12m+9 - 4m²+4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, iremos ficar apenas com:

12m + 13 = 0
12m = - 13
m = -13/12 <--- Esta é a resposta. Ou seja, para que a equação quadrática da sua questão tenha uma única raiz real (ou duas raízes reais e ambas iguais), então basta que "m" seja igual a "-13/12".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Delta  deve ser = 0
b² - 4ac = 0
a = ( m + 1)
b = + ( 2m + 3)
c = + ( m - 1)

( 2m + 3)²  -  [ 4 ( m + 1) (m - 1 )]  =
[ (2m)² + 2 . 2m . 3   +  (3)² ]  -  [ 4 ( m²)  - (1 ) ²] 
( 4m² + 12m + 9 ) -  [ 4 ( m²  - 1 )]  =
[ 4m² + 12m + 9 ] - [ 4m²  - 4 ] =
4m² + 12m + 9  - 4m² + 4 =
12m + 13 = 0
12m = - 13
m =  -13/12 ****