Question

Qual o valor de log da questão abaixo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cardoso, como você forneceu as alternativas de resposta, então vamos desenvolver a nossa resposta de forma bem passo a passo, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o valor de " log₁ ̷ ₃ (3x) ", sabendo-se que:

log₃ (3x) - log₉ (x) - log₃ (x) = 2 ------ veja que 9 = 3², então ficaremos assim:

log₃ (3x) - log₃² (x) - log₃ (x) = 2

Agora note isto e não esqueça mais: há uma propriedade logarítmica segundo a qual o INVERSO do expoente da BASE passa multiplicando o respectivo log. Como temos uma base "3²", então o log que tem essa base passará a ser multiplicada pelo inverso do expoente da base, ou seja, o log passa a ser multiplicado por "1/2". Então iremos ficar assim:

log₃ (3x) - (1/2)*log₃ (x) - log₃ (x) = 2 ---- note que isto é equivalente a:

log₃ (3x) - log₃ (x) / 2 - log₃ (x) = 2 ----- mmc = 2. Assim, utilizando-o apenas no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[2*log₃ (3x) - 1*log₃ (x) - 2*log₃ (x)]/2 = 2 ---- multiplicando-se em cruz, ficaremos assim:

2log₃ (3x) - log₃ (x) - 2log₃ (x) = 2*2 ----- continuando o desenvolvimento, teremos:

2log₃ (3x) - log₃ (x) - 2log₃ (x) = 4 ---- note que "-log₃ (x) - 2log₃ (x) = - 3log₃ (x)". Logo:

2log₃ (3x) - 3log₃ (x) = 4 ----- note que podemos transformar o produto "3x" em soma, ficando assim (é uma propriedade logarítmica):

2*[log₃ (3) + log₃ (x)] - 3log₃ (x) = 4 ----- note que log₃ (3) = 1. Então substituindo, temos:

2*[1 + log₃ (x)] - 3log₃ (x) = 4 ---- efetuando o produto indicado, teremos:

2 + 2log₃ (x) - 3log₃ (x) = 4 ----- passando "2" para o 2º membro e considerando que "2log₃ (x) - 3log₃ (x) = - log₃ (x), iremos ficar assim:

- log₃ (x) = 4 - 2 ------ desenvolvendo, temos:

- log₃ (x) = 2 ----- note que "-log₃ (x)" é a mesma coisa que:

-1*log₃ (x) = 2 ---- passando "-1" para expoente do logaritmando, teremos:

log₃ (x)⁻¹ = 2 ------ agora veja que: aplicando a definição de logaritmo, teremos:

3² = x⁻¹ ------ veja que x⁻¹ = 1/x  e  que 3² = 9. Logo, ficaremos assim:

9 = 1/x ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

9*x = 1 ---- isolando "x", teremos;

x = 1/9 <---- Este é o valor de "x".

ii) Agora veja: como já temos o valor de "x", então vamos encontrar qual é o valor do que está sendo pedido, que é isto: qual é o valor da seguinte expressão, que vamos igualá-la a um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

log₁ ̷ ₃ (3x) = y ----- como já vimos que x = 1/9 , então vamos substituir, ficando:

log₁ ̷ ₃ (3*1/9) = y ----- desenvolvendo, teremos:

log₁ ̷ ₃ (3/9) = y ----- note que (3/9), quando simplificamos numerador e denominador por "3" ficamos apenas com "1/3". Então ficaremos assim:

log₁ ̷ ₃ (1/3) = y ----- aplicando a definição de logaritmo, note que isto é o mesmo que:

(1/3)ʸ = 1/3 ----- note que o "1/3" que está no 2º membro e está sem expoente, ele tem, na verdade, expoente igual a "1", apenas não se coloca. Mas é como se fosse assim:

(1/3)ʸ = (1/3)¹ ----- como as bases são iguais, então podemos igualar os expoentes. Logo:

y = 1 <--- Esta é a resposta. Opção "e". Note que é a última opção, que você colocou  como se fosse "d". Mas já havendo uma opção anterior que é "d", então a opção seguinte só poderá ser a opção "e", que é como a estamos considerando.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.