Question

Qual o valor de log da equação abaixo :

log de x na base 3 = 1 + log de 9 na base x

S={ 9 , 1/3 }

Answer 1

Propriedades utilizadas:

• mudança de base;

• base e logaritmando iguais;

• logaritmando elevado a um expoente;

• multiplicação de logaritmos.

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$log_3(x) = 1 + log_x(9) \\\\ log_3(x) = log_x(x) + log_x(9) \\\\ log_3(x) = log_x(9x) \\\\ { log_x(x) \over log_x(3) } = log_x(9x) \\\\ { 1 \over log_x(3) } = log_x(9x) \\\\ log_x(3) \times log_x(9x) = 1 \\\\ log_x(3) \times ( log_x(9) + log_x(x) ) = 1 \\\\ log_x(3) \times log_x(9) + log_x(3) = 1 \\\\ log_x(3) \times log_x(3^2) + log_x(3) = 1 \\\\ 2log_x(3)^2 + log_x(3) -1 = 0$

Seja log_x(3) = y, teremos:

$2y^2 + y - 1 = 0 \\\\ y_1 = { - 1 + \sqrt{ 2^2 - 4 \times 2 \times -1 } \over 4 } \\\\ y_1 = { 1 \over 2 } \\ ------------ \\ y_2 = { - 1 - \sqrt{ 2^2 - 4 \times 2 \times -1 } \over 4 } \\\\ y_2 = -1$

Devolvendo os valores a log_x(3):

$log_{x_1}(3) = { 1 \over 2 } \\\\ \sqrt{x_1} = 3 \\\\ x_1 = 9 \\ -------- \\\ log_{x_2}(3) = -1 \\\\ { 1 \over x_2} = 3 \\\\ x_2 = { 1 \over 3}$

Soluções:

$\boxed{ S = \left[ {1 \over 3} \: ; \: 9 \right] }$