Question

Qual o valor de L para que a função dada por f abre parênteses x fecha parênteses igual a abre chaves espaço tabela linha com célula com numerador x ao cubo menos x sobre denominador x fim da fração vírgula espaço s e espaço x não igual 0 fim da célula linha com célula com L vírgula espaço espaço s e espaço x igual a 0 fim da célula fim da tabela fecha seja contínua nesse ponto?

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{3} - x}{x} , \: \: se \: x \neq 0 \\ L , \: se \: \: x = 0 \end{cases}$

Para uma função ser contínua, ela deve cumprir três restrições, que são:

$1) \: f(x) \rightarrow definida \\ \\ 2 )\: \lim_{x \rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x \rightarrow a {}^{ - } }f(x) \\ \\ 3) \: \lim_{x \rightarrow a {}^{ } }f(x) = f(x)$

Seguindo essa lógica, vamos ver o valor de L para que a função seja contínua:

• Restrição 1:

$f(0) = L$

Digamos que esse tal valor seja definido, então a primeira restrição estará ok.

• Restrição 2:

$\lim_{x \rightarrow 0 {}^{ + } }f(x) = \frac{x {}^{3} - x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0 {}^{ - } } \frac{x {}^{3} - x }{x} \\ \\ \lim_{x \rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{ \cancel{x}(x {}^{2} - 1 )}{ \cancel{x}} = \lim_{x \rightarrow 0 {}^{ - } } \frac{ \cancel{x}(x {}^{2} - 1 )}{ \cancel{x}} \\ \\ \lim_{x \rightarrow 0 {}^{ + } } x {}^{2} - 1 = \lim_{x \rightarrow 0 {}^{ - } } x {}^{2} - 1 \\ \\ 0 {}^{2} - 1 = 0 {}^{2} - 1 \\ \\ \boxed{- 1 = - 1} \rightarrow \exists\lim_{x \rightarrow 0 {}^{ } }f(x)$

A segunda condição também está ok.

• Restrição 3:

$\lim_{x \rightarrow a {}^{ } }f(x) = f(x)$

Como podemos ver, temos os valores de f(x) e o limite de f(x), então vamos substituí-los:

$- 1 = L \longrightarrow \boxed{L = - 1}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

L = -1

Explicação passo-a-passo: