Question

qual o valor de K para que o sistema seja impossível.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{Para~que~o~sistema~seja~imposs\'ivel,~k\neq5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos matrizes

Dado o sistema linear a seguir (reorganizando os elementos):

$\begin{cases}0x-4y+3z=1\\4x+0y-2z=2\\-3x+2y+0z=3-k\\\end{cases}$

Transformando este sistema em matrizes, temos que

$\begin{bmatrix}0&-4&3&|&1\\4&0&-2&|&2\\-3&2&0&|&3-k\\\end{bmatrix}$

Sabemos que a condição para que o sistema seja possível e indeterminado ou impossível é que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero.

Facilmente, podemos demonstrar pela Regra de Sarrus, que consiste em replicar as duas primeiras colunas da matriz à sua direita e encontrar a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da direita para esquerda, que o determinante será igual zero.

Ficamos com o determinante

$\begin{vmatrix}0&-4&3\\4&0&-2\\-3&2&0\\\end{vmatrix}$

Aplicando a regra de Sarrus

$\left|\begin{matrix}0&-4&3\\4&0&-2\\-3&2& 0\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}0 &-4 \\ 4 & 0\\ -3 &2 \end{matrix}\right.\\\\\\ 0\cdot0\cdot0+(-4)\cdot(-2)\cdot(-3)+3\cdot4\cdot2-((-4)\cdot4\cdot0+0\cdot2\cdot2+3\cdot0\cdot(-3))$

Calculando as multiplicações e somas, mostramos que

$\begin{vmatrix}0&-4&3\\4&0&-2\\-3&2&0\\\end{vmatrix}=0$

Então, na tentativa de encontrar um caso de impossibilidade, devemos escalonar a matriz

Para escalonarmos, utilizaremos a eliminação de Gauss-Jordan, que consiste em escolhermos um elemento pivô em uma das linhas que seja elemento da diagonal principal, multiplicar esta linha por uma constante e somá-la a outra a fim de zerar o elemento alvo desta linha. Esta propriedade corrobora com o Teorema de Jacobi, pois não altera o determinante da matriz.

Porém, como podemos ver, o primeiro elemento pivô, isto é, $a_{11}$ é igual a zero. Devemos trocar duas filas entre si para que comecemos a utilizar o escalonamento. Isso altera o sinal do determinante, mas como já sabemos ele é igual a zero, logo

Troque as colunas 1 e 2 entre si, teremos a seguinte matriz ampliada

$\begin{bmatrix}-4&0&3&|&1\\0&4&-2&|&2\\2&-3&0&|&3-k\\\end{bmatrix}$

Comecemos a escalonar matriz com as linhas 1 e 3, pois um dos elementos da coluna 1 já é zero. Multiplique a primeira linha por 1/2 e some à terceira linha.

$\begin{bmatrix}-4&0&3&|&1\\0&4&-2&|&2\\2&-3&0&|&3-k\\\end{bmatrix}~\rightarrow~L_1\cdot\dfrac{1}{2}+L_3$

Ficamos com

$\begin{bmatrix}-4&0&3&|&1\\0&4&-2&|&2\\0&-3&\dfrac{3}{2}&|&\dfrac{7}{2}-k\\\end{bmatrix}$

Zerados todos os elementos abaixo do primeiro elemento pivô, escolha o segundo elemento pivô $a_{22}$

Multiplique a segunda linha por 3/4 e some à terceira linha

$\begin{bmatrix}-4&0&3&|&1\\0&4&-2&|&2\\0&-3&\dfrac{3}{2}&|&\dfrac{7}{2}-k\\\end{bmatrix}~\rightarrow L_2\cdot\dfrac{3}{4}+L_3$

Ficamos com

$\begin{bmatrix}-4&0&3&|&1\\0&4&-2&|&2\\0&0&0&|&5-k\\\end{bmatrix}$

Então, considerando ainda os elementos da matriz ampliada como os coeficientes do sistema, pode-se ver que não haveria solução para o caso que todos os coeficientes forem 0 e $5-k$ resulte em qualquer constante não nula.

Logo, para o sistema ser impossível,  $k\neq5$.