Question

Qual o valor de K para que a expressão y=√(x²-kx+6) defina uma função de domínio real em K?

Answer 1

Resposta:

y=√(x²-kx+6)

x²-kx+6 ≥ 0

Δ ≥ 0

k²-24 ≥ 0

k' =2√6  ou  k''=-2√6

++++++++(-2√6)---------------------------(2√6)+++++++++++++++++

-2√6 ≥ k ≥ 2√6

Answer 2

Resposta: -2√6≤ k ≤2√6 ou [-2√6,2√6]

Explicação passo-a-passo: Para que a função tenha "domínio real" todos os valores de x no campo dos reais (R) devem satisfazer a condição de tornar x^2-kx+6 ≥ 0, porque não existe raiz de número negativo no campo dos reais.  

1 - Para que a expressão x^2-kx+6 seja nula, ou seja, igual a zero, com uma única raiz real, ou seja um único valor para x que torne a expressão x^2-kx+6=0,  a parábola da função teria que tangenciar o eixo das abscissas (eixo x). Para que isso possa ocorrer o ∆ terá que ser igual a 0 (∆=0) o que satisfaria a condição acima, pois existe raiz de 0. Neste caso, teríamos uma solução que torne a expressão nula, com os demais valores de "x" tornando-a positiva.

2 - Para que a função possa ter solução positiva e somente positiva, ou seja, x^2-kx+6>0 em todo o campo dos reais (V= R), o  ∆  teria que ser menor que zero ( ∆ <0), pois nessa condição a parábola não tocaria o eixo das abscissas e qualquer valor de x tornaria a função positiva (nunca nula ou negativa) e satisfaria expressão supracitada.  

Portanto,  o valor de  ∆ terá que ser menor ou igual a zero ( ∆≤0). Assim sendo: b² - 4ac ≤0 => (-k)² - 4(1)(6)  ≤ 0 => k²≤24 => k ≤ ± 2√6. Perceba que todo valor entre -2√6 inclusive e 2√6 inclusive torna o ∆ < ou =0. Portanto, a solução seria: -2√6≤ k ≤2√6 ou [-2√6,2√6].