Question

qual o valor de k na função f(x)=4X²-4X-K,de modo que não tenha raízes,isto e,o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Maria, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o valor de "k" na função f(x) = 4x²-4x-k, de modo que essa função NÃO tenha raízes reais, ou seja, o gráfico (parábola) não possui ponto em comum com o eixo "x".

Antes de iniciar, veja estes rápidos prolegômenos:

i) Uma função do segundo grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá duas raízes reais e diferentes se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for maior do que zero.

ii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá apenas uma raiz real (ou seja terá duas raízes reais mas ambas iguais) se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for igual a zero.

iii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, NÃO terá nenhuma raiz real se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for menor do que zero.

iv) Assim, tendo, portanto, o que viu aí em cima como parâmetro, então vamos responder ao que pede a sua questão, que pede os possíveis valores de "k" para que a função abaixo NÃO tenha nenhuma raiz real:

f(x) = 4x² - 4x - k ---- note que os coeficientes são: a = 4; b = -4; e c = -k

Veja que o Δ (b² - 4ac) da função acima será este: (-4)² - 4*4*(-k). Então, como queremos que a função acima NÃO tenha nenhuma raiz real, então vamos impor que o delta acima seja MENOR do que zero (negativo). Assim:

(-4)² - 4*4*(-k) < 0 ---- desenvolvendo, teremos:
16 + 16k < 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:
16k < -16 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
k < -16/16
k < -1 ----- Esta é a resposta. Ou seja, basta que "k" seja menor do que "-1" para que a equação da sua questão NÃO tenha raízes reais.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

K<-1

Explicação passo-a-passo: