Question

Qual o valor de k na equação x^2 + mx + k = 0, para que uma de suas raízes seja o dobro da outra e seu discriminante seja igual a 9?

a 16
b 17
c 18
d 19
e 20

Answer 1

Olá

Consideremos o seguinte caso

$\boxed{\mathtt{x_1=2x_2}}$

Lembrando que
$\boxed{\mathtt{ax^{2}+bx+c=0}}\\\\\\ \boxed{\mathtt{x^{2}-Sx+P=0}}$

Podemos usar a seguinte maneira para resolver

$\mathtt{x^{2}-(3x_2)x+2x_2^{2}=0}$

De forma que
$\mathsf{\Delta=9}$ e sabendo que $\boxed{\mathsf{\Delta=b^{2}-4ac}}$, podemos

$\mathtt{(-3x_2)^{2}-4\cdot(1)\cdot[2(x_2)^{2}]=9}$

Simplifique as potenciações

$\mathtt{9x_2^{2}-8x_2^{2}=9}$

Reduza os termos semelhantes

$\mathtt{x_2^{2}=9}$

Encontre os valores

$\mathtt{x_2=\pm3}$

De acordo com a afirmação inicial, podemos dizer que

$\mathtt{x_1=\pm6}$

A partir disto, usamos a identidade de Girard para equações e descobrimos qual satisfaz o discriminante delta

$\mathsf{x^{2}-9x+18=0~|~\{x_1=6,~x_2=3\}}\\\\\\ \mathsf{x^{2}-3x-18=0~|~\{x_1=6,~x_2=-3\}}\\\\\\ \mathsf{x^{2}+3x-18=0~|~\{x_1=-6,~x_2=3\}}\\\\\\ \mathsf{x^{2}+9x+18=0~|~\{x_1=-6,~x_2=-3\}}$

Aplicando a identidade do discriminante delta, é observável que

Ambas as equações que obtém termo indepedente positivo traz um discriminante delta igual a 9

Desta forma, tanto para um ou para outro, como o termo é igual

O valor de k é igual a 18

Resposta correta
Letra C