Question

Qual o valor de f(x) = x2 + x+ 2??

Answer 1

Resposta:

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Trata-se de uma função de segundo grau ou função quadrática, do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde a e b são os coeficientes da parte variável e c, termo livre.

1º Passo: Identificar os coeficientes da função de segundo grau.

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = x² + x + 2 => a = 1, b = 1 e c = 2

Lembretes:

a) O valor do coeficiente c é o ponto em que a função intercepta o eixo 0y (0, c). É o ponto em que x é igual a 0.

b) As raízes ou os zeros da função correspondem aos pontos de interceptação no eixo 0x. São os pontos em que f(x) é igual a 0.

2º Passo: Transformar a função de segundo grau em uma equação de segundo grau (f(x) = 0).

f(x) = x² + x + 2

0 = x² + x + 2

x² + x + 2 = 0

3º Passo: Calcular o valor do Discriminante da equação de segundo grau (Discriminante ou Δ)

Δ = b² - 4ac

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(1)^{2}-4.(1).(2)\\\Delta=1 - 8\\\Delta=-7$

4º Passo: Analisar o resultado do Discriminante.

Como o valor de Delta encontrado é menor do que zero (Δ < 0 ou Δ negativo), a equação de segundo grau não admite solução no campo dos números reais. Contudo, no campo dos números complexos, há solução para a equação de segundo grau.

5º Passo: Unidade Imaginária.

Por definição, a unidade imaginária é:

i² = -1

6º Passo: Reescrever o resultado do Discriminante, utilizando a unidade imaginária.

$\Delta=-7\\\Delta=7.(-1)\\\Delta=7.i^{2}$

7º Passo: Determinar os Zeros ou as Raízes da equação de segundo grau.

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\e\\x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

1ª Raiz ou 1º Zero (x₁):

$x_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_{1} = \frac{-1+\sqrt{7i^{2}}}{2.(1)}\\x_{1} = \frac{-1+{i\sqrt{7}}}{2}$

2ª Raiz ou 2º Zero:

$x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_{2} = \frac{-1-\sqrt{7i^{2}}}{2.(1)}\\x_{2} = \frac{-1-{i\sqrt{7}}}{2}$

9º Passo: Determinar o Conjunto Imagem da função.

• Uma vez conhecido o valor do coeficiente "a", que no caso dado é positivo (a = 1, logo a > 0), sabe-se que o gráfico da função, que é uma parábola, tem a sua concavidade voltada para cima (correlação com o sinal de a).
• O vértice da parábola é o ponto mínimo desta função, uma vez que a concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).
• Valores das coordenadas do vértice (x, y):

$x_{v} = -\frac{b}{2a}$

$x_{v} = -\frac{1}{2}$

$y_{v} = -\frac{\Delta}{4a}$

$y_{v} = -\frac{-7}{4.(1)}=\frac{7}{4}$

Assim, o Conjunto Imagem da função é: Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 7/4}.

A função intercepta o Eixo das Ordenadas ou Eixo 0y no ponto de coordenadas (0, 2).

10º Passo: Determinar o Conjunto Domínio da função.

O Conjunto Domínio da função será: D(f) = {x ∈ R}.

Como observação, esta função não tem raízes ou zeros no campo dos números reais, embora tenhamos definido o seu domínio. Lembremo-nos de que o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos, para os quais as raízes ou zeros da função foram definidos.

11º Passo: Esboçar o gráfico da função.

O gráfico da função está exposto no anexo.