qual o valor de b/³√b-a²
Soluções para a tarefa
Resposta:
2/11
Explicação passo-a-passo:
Oi! Para começar a resolver esse exercício, vamos isolar \log_balog
b
a , simplificando a expressão \log_{b}(\sqrt[3]{b*a^{2}})=4log
b
(
3
b∗a
2
)=4 .
Temos que lembrar das seguintes propriedades:
\log_ab=clog
a
b=c ⇒ a^{c}=ba
c
=b
\log_a(b*c)=\log_ab+\log_aclog
a
(b∗c)=log
a
b+log
a
c
\log_ab^{k}=k*\log_ablog
a
b
k
=k∗log
a
b
Agora, vamos começar!
\begin{gathered}\log_{b}(\sqrt[3]{b*a^{2}})=4\\\\\log_{b}({\sqrt[3]{b} *\sqrt[3]{a^{2} }})=4\\\\\log_{b}[{b^{\frac{1}{3}} *(a^{2})^{\frac{1}{3} }}]=4\\\\\log_{b}{(b^{\frac{1}{3} }*a^{\frac{2}{3} }) }=4\\\\\log_{b}b^{\frac{1}{3} } +\log_{b}a^{\frac{2}{3} } =4\\\\\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\log_{b}a=4\\\\\frac{2}{3}\log_{b}a=4-\frac{1}{3}\\\\\frac{2}{3}\log_ba=\frac{11}{3}\\\\\log_ba=\frac{11}{3}*\frac{3}{2}\\\\\log_ba=\frac{11}{2}\end{gathered}
log
b
(
3
b∗a
2
)=4
log
b
(
3
b
∗
3
a
2
)=4
log
b
[b
3
1
∗(a
2
)
3
1
]=4
log
b
(b
3
1
∗a
3
2
)=4
log
b
b
3
1
+log
b
a
3
2
=4
3
1
+
3
2
log
b
a=4
3
2
log
b
a=4−
3
1
3
2
log
b
a=
3
11
log
b
a=
3
11
∗
2
3
log
b
a=
2
11
Para descobrir o valor de C, temos que lembrar da propriedade:
(\log_ab)(\log_ba)=1(log
a
b)(log
b
a)=1
Sabemos que \log_ab=clog
a
b=c e \log_ba=11/2log
b
a=11/2 . Vamos substituir essas informações na fórmula.
\begin{gathered}c*(\frac{11}{2})=1\\\\ c=1*\frac{2}{11}\\\\c=\frac{2}{11}\end{gathered}
c∗(
2
11
)=1
c=1∗
11
2
c=
11
2
Portanto, C=2/11.