Question

Qual o valor de ?(arcsen(3/5) + arccos(4/5 ))?

faz um tempo que formei. não lembro muito como faz !!

Answer 1

Consideremos os ângulos

$\theta_{1}=\mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}\\ \\ \\ \theta_{2}=\arccos \dfrac{4}{5}$

e desejamos calcular $\theta_{1}+\theta_{2}.$
___________________________

$\bullet\;\;$ Como o argumento de $\mathrm{arcsen}$ é $\dfrac{3}{5}>0,\;$ temos que

$\theta_{1}$ é um arco do 1º quadrante.


$\bullet\;\;$ Como o argumento de $\arccos$ é $\dfrac{4}{5}>0,\;$ temos que

$\theta_{2}$ é um arco do 1º quadrante.

__________________________

Para arcos do primeiro quadrante $(0\le x\le 1),$ vale que

$\mathrm{arcsen}\,x=\arccos\sqrt{1-x^{2}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

Para $x=\dfrac{3}{5},$ temos

$\mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5} \right )^{\!\!2}}\\ \\ \\ \mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}\\ \\ \\ \mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\sqrt{\dfrac{25}{25}-\dfrac{9}{25}}\\ \\ \\ \mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\sqrt{\dfrac{25-9}{25}}\\ \\ \\ \mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\ \\ \\ \mathrm{arcsen}\,\dfrac{3}{5}=\arccos\dfrac{4}{5}~~~~~~\mathbf{(ii)}$
______________________________

Portanto,

$\theta_{1}=\mathrm{arcsen\,}\dfrac{3}{5}=\arccos\dfrac{4}{5}=\theta_{2}$

E dessa forma,

$\theta_{1}+\theta_{2}\\ \\ =\theta_{1}+\theta_{1}\\ \\ =2\theta_{1}\\ \\ =2\,\mathrm{arcsen\,}\dfrac{3}{5}~~~~\left(=2\arccos\dfrac{4}{5}\right)$