Question

Qual o valor da soma dos coeficientes de (3x+2)5

Answer 1

Olá.

Temos a expressão: (3x + 2)⁵. Para responder essa questão, vou usar propriedades de produtos notáveis. Seguem elas:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}}$

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3}}}$

É possível dividir essa expressão para trabalharmos com os produtos notáveis acima apresentados. Teremos:

(3x + 2)⁵ = (3x + 2)³ * (3x + 2)²

 

Aplicando individualmente os produtos notáveis, teremos:

(3x + 2)² = (3x)² + 2(3x)(2) + 2²

(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4

 

(3x + 2)³ = (3x)³ + 3(3x)²(2) + 3(3x)(2)² + 2³

(3x + 2)³ = 27x³ + 6(9x²) + 9x(4) + 8

(3x + 2)³ = 27x³ + 54x² + 36x + 8

 

Substituindo os valores acima, teremos:

(3x + 2)⁵ = (3x + 2)³ * (3x + 2)²

(3x + 2)⁵ = (27x³ + 54x² + 36x + 8) * (9x² + 12x + 4)

 

Novamente devemos aplicar distributiva. Para facilitar, vou aplicar separadamente, somando tudo no final. Vamos aos cálculos.

 

(27x³ + 54x² + 36x + 8) * 9x² =

(243x⁵ + 486x⁴ + 324x³ + 72x²)

 

(27x³ + 54x² + 36x + 8) * 12x =

(324x⁴ + 648x³ + 432x² + 96x)

 

(27x³ + 54x² + 36x + 8) * 4 =

(108x³ + 216x² + 144x + 32)

 

Somando, teremos:

(243x⁵ + 486x⁴ + 324x³ + 72x²) + (324x⁴ + 648x³ + 432x² + 96x) + (108x³ + 216x² + 144x + 32)

 

Organizando os termos e logo após unindo-os, teremos:

 

(243x⁵ + 486x⁴ + 324x³ + 72x²) + (324x⁴ + 648x³ + 432x² + 96x) + (108x³ + 216x² + 144x + 32) =

243x⁵ + 486x⁴ + 324x³ + 72x² + 324x⁴ + 648x³ + 432x² + 96x + 108x³ + 216x² + 144x + 32 =

243x⁵ + 486x⁴ + 324x⁴ + 324x³ + 648x³ + 108x³ + 216x² + 432x² + 72x² + 96x + 144x + 32 =

243x⁵ + 810x⁴ + 1080x³ + 720x² + 240x + 32

 

Usando a forma ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f para encontrar os coeficientes. Teremos:

a = 243;

b = 810;

c = 1080;

d = 720;

e = 240;

f = 32;

 

Somando todos os valores, teremos:

243 + 810 + 1080 + 720 + 240 + 32 =

1053 + 1800 + 272 =

2853 + 272 =

3125

 

A resposta que se adequa é 5⁵, pois 5⁵ = 3125.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$