Question

Qual o valor da soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada a seguir?
$\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\0&-2\\\end{array}\right]$

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos lá.

Sabemos que para obter a matriz inversa de uma matriz qualquer devemos multiplicar uma matriz inversa "genérica" pela matriz que temos e igualar a matriz identidade correspondente ao número de linhas e colunas da matriz que temos.

Tal descrição ↑, possui a seguinte notação:

$\large\boxed{A. A {}^{ - 1} = I}$

Vamos dizer que matriz inversa possui os elementos a, b,c e d.

$\begin{pmatrix}1& - 1 \\ 0& - 2\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} a&b \\ c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix}1.a + ( - 1).c&1.b + ( - 1).d \\ 0.a + ( - 2).c&0.b + ( - 2).d\end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1&0 \\ 0&1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix}a - c&b - d \\ - 2c& - 2d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \\ \\ \begin{cases}a - c = 1 \\ a = 1 + c \\ \\ - 2c = 0 \\ c = \frac{0}{ - 2} \\ c = 0 \\ \\ b - d = 0 \\ b = d \\ \\ - 2d = 1 \\ d = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Agora vamos organizar e resolver todas essas expressões a, b , c e d.

$a = 1 + c \\ a = 1 + 0 \\ \boxed{a = 1 }\\ \\ b = d \\ \boxed{b = - \frac{1}{2}} \\ \\ \boxed{ c = 0 }\\ \\ \boxed{d = - \frac{1}{2} }$

Substituindo na matriz inversa:

$\Large\:A {}^{ - 1} = \begin{pmatrix}1& - \frac{1}{2} \\ 0& - \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

A questão quer saber a soma de todos os elementos da matriz inversa.

$1 + 0 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ 1 + 0 - \frac{2}{2} \\ 1 + 0 - 1 \\ \red{\boxed{0} \leftarrow resposta}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️