Question

Qual o valor da integral dupla ∫₀³∫₁² ( 1+8xy) dx dy

Answer 1

$\displaystyle\int_0^3\int_1^2\!(1+8xy)\,dx\,dy\\\\\\ =\int_0^3\!\left.\left(x+4x^2y \right )\right|_{x=1}^{x=2}\,dy\\\\\\ =\int_0^3\!\big[(2+4\cdot 2^2\cdot y)-(1+4\cdot 1^2\cdot y)\big]dy\\\\\\ =\int_0^3\!\big[(2+16y)-(1+4y)\big]dy\\\\\\ =\int_0^3\!(1+12y)\,dy$

$=(y+6y^2)\big|_0^3\\\\ =(3+6\cdot 3^2)-(0+6\cdot 0^2)\\\\ =3+54\\\\ =57\\\\\\ \therefore~~\boxed{\displaystyle\int_0^3\int_1^2\!(1+8xy)\,dx\,dy=57}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Ao usarmos as propriedades das integrais podemos concluir que o valor dela é de

$\large\text{ \boxed{\boxed{57}} }$

• Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos a seguinte integral

$\Large\int\limits^3_0 \int\limits^2_1 (1+8xy)dxdy$

Perceba que temos duas integrais, então temos um caso de integrais duplas

Para resolve-la temos que no relembrar de algumas propriedades das integrais

• INTEGRAL DEFINIDA DE UMA CONSTANTE

      $\Large\int\limits^a_b {(c)} \, dx =\left[cx\right]^a_b$

• INTEGRAL DEFINIDA DE UMA VARIAVEL COM EXPOENTE CONSTANTE

         $\Large\text{ \int\limits^a_b {(x^n)} \, dx =\left[\frac{x^{n+1}}{n+1} \right]^a_b }$

Lembre-se também que temos mais de uma variável na integral dupla o X e o Y

• Se integrarmos em DX que dizer que a variável é o X é o Y é uma constante

• Se integrarmos em DY que dizer que a variável é o Y é o X é uma constante

Com isso em mente vamos resolver a questão

$\Large\int\limits^3_0 \int\limits^2_1 (1+8xy)dxdy \\\\\\\Large\int\limits^3_0 \left(1x+\dfrac{8x^2y}{2} \right)^2_1dy \\\\\\\Large\int\limits^3_0 \left(1x+4x^2y \right)^2_1dy \\\\\\\Large\int\limits^3_0 \left(1\cdot 2+4\cdot 2^2\cdot y)-(1\cdot 1+ 4\cdot 1^2\cdot y\right)dy \\\\\\\Large\int\limits^3_0 \left(2+16y)-(1+4y\right)dy \\\\\\\Large\int\limits^3_0 \left(2+16y-1-4y\right)dy$

$\Large\boxed{\int\limits^3_0 \left(1+12y\right)dy}$

Agora que resolvemos a primeira derivada vamos resolver a segunda usando o Y como variável com os limite de 0 a 3

$\Large\int\limits^3_0 \left(1+12y\right)dy \\\\\\\Large\left(1x+\dfrac{12y^2}{2}\right)^3_ 0 \\\\\\\\\Large \left(1x+6y^2\right)^3_0 \\\\\\\Large \left(1\cdot 3+6\cdot 3^2\right)-\left(1\cdot 0+6\cdot 0^3\right)\\\\\\\Large \left( 3+54\right)-\left(0+0\right)\\\\\\\Large 57-0\\\\\\\Large\text{ \boxed{\boxed{57}} }$

Assim concluirmos que

$\Large\int\limits^3_0 \int\limits^2_1 (1+8xy)dxdy =57$

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