Matemática, perguntado por amiltonsilvacorrea, 4 meses atrás

Qual o valor da integral da curva c, dada a seguir, sendo c a metade inferior do círculo unitário x²+y²=1.
$integral \: de \: c \: 5 + x^{2} y \: ds$

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o valor da integral da curva é igual a $5\pi-\dfrac{2}{3}$ .E para chegar a essa conclusão tivemos que usar a fórmula de parametrização de uma integral de linha.

Mas amigo Nitoryu, qual é essa fórmula?

A fórmula para a parametrização de uma integral de linha é:

$\large\boxed{\boxed{ \boxed{ \displaystyle \int _ C f(x,y) dS = \int^{b} _ a f<x (t), y (t)> \sqrt{(x')^2 + (y')^2 }dt}}}$

Levando em consideração a parametrização podemos resolver este problema.

O problema diz qual o valor da integral da curva C, dada a seguir, sendo C a metade inferior do círculo unitário x²+y²=1.

A integral de linha da metade inferior do círculo unitário é igual a:

$\displaystyle \int _ C 5 + x ^2 y$

Levar isso para uma função paramétrica não é tão difícil, quando diríamos com um círculo as equações são:

$\rm x = r cos t$

$\rm y = r sen t$

Onde r é o raio da circunferência, o valor do raio pode ser dado pela equação canônica x²+y² = r², pois temos a equação x²+y² = 1 o raio é igual a 1, então "y" e " x" são definidos pelas equações:

$\rm x = cos t$

$\rm y = sen t$

Agora tentamos usar a derivada com as equações de "x" e "y", aplicando a derivada obtemos:

$\rm x ' = - sen t$

$\rm y ' = cos t$

Assim tendo encontrado os valores de "x" e "y" podemos tentar parametrizar nossa função. Substituindo os valores de "x" e "y" na função:

$\rm f<x (t), y (t)> = 5 + \left(cos t\right)^2 sen t \\\\ \rm f<x (t), y (t)> = 5 + cos ^2t sen t$

Vamos substituir todas essas operações na fórmula para a parametrização de uma integral, substituindo os valores nesta fórmula obtemos a integral:

$\displaystyle \int^{b} _ a 5 + cos ^2t sen t \sqrt{(- sen t )^2+ (cos t)^2 }dt\\\\ \displaystyle \int^{b} _ a 5 + cos ^2t sen t \sqrt{sen ^2t + cos ^2 t }dt\\\\ \displaystyle \int^{b} _ a 5 + cos ^2t sen t \sqrt{1 }dt\\\\ \displaystyle \int^{b} _ a 5 + cos ^2t sen t dt$

Antes de resolver esta integral vamos definir os limites onde queremos a integral, para encontrar esses limites devemos levar em conta a parte da questão onde menciona que C é a metade inferior do círculo unitário.

Sabemos que metade de um círculo está entre os limites de 0 a π, portanto, como é a parte inferior, seus limites serão negativos, então a integral será avaliada de -π a 0.

Então nossa integral está sendo avaliada nos limites:

$\displaystyle \int^{0} _ {-\pi} 5 + cos ^2t sen t dt$

Para resolver essa integral de uma maneira muito simples, primeiro faremos a integral indefinidamente.

$\displaystyle \int 5 + cos ^2t sen t dt$

Para resolver essa integral vamos aplicar a regra da adição, essa regra tem a seguinte expressão: $\displaystyle \int f(x) \pm g(x)dx= \int f(x) dx \pm \int g(x)dx$

Aplicando esta regra com a nossa integral temos:

$\displaystyle \int 5 dt + \int cos ^2t sen t dt$

Resolvendo a integral 1:

$\displaystyle \int 5 dt=\dots \\ \\ \dots=\displaystyle 5\int dt=\dots\\\\ \displaystyle \dots= 5t$

Resolvendo a integral 2:

$\displaystyle \int cos ^2t sen t dt$

Aplicando o método de integração por substituição, com:

$u = cos t$

$\rm du=−sentdt$

$\rm - du=sentdt$

Aplicando a substituição obtemos a expressão:

$\displaystyle \int (u^2)( - d u)\\\\ \displaystyle -\int u^2 d u$

Para resolver esta integral vamos aplicar a regra da potência, a regra da potência é dada pela expressão: $\displaystyle\int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{ n+1 }$ .

Então o valor da integral é:

$\displaystyle - \dfrac{u^{2+1}}{2+1} =-\dfrac{u^{3}}{3}=\dots \\\\ \dots=-\dfrac{cos^{3}t}{3}$

Substituindo o valor das integrais 1 e 2 na integral definida que tínhamos anteriormente:

$\Longrightarrow\quad \displaystyle \left[5t - \dfrac{cos ^3(t)}{3}\right]^0 _{-\pi}$

Uma vez encontrado o valor da integral indefinida, podemos calcular os limites da integral definida.

$\displaystyle \left[5\cdot 0- \dfrac{cos ^3(0)}{3}\right]-\left[-5\pi -\dfrac{cos^3(-\pi)}{3}\right]\\\\ \displaystyle \left[-\dfrac{1}{3}\right]-\left[-5 \pi +\dfrac{1}{3}\right]\\\\ \displaystyle -\dfrac{1}{3}+5 \pi -\dfrac{1}{3}\\\\ \displaystyle\Longrightarrow\quad \boxed{\boxed{\boxed{ \int _ C 5 + x^{2} y \: dS = 5 \pi -\dfrac{2}{3}}}}$