Question

Qual o valor da integral???

Answer 1

Olá,

Temos que:

$f''(x) = -1f(x)$

$f(0)-f'(0) = -1$

$f(ln\ 4 ) - f'(ln\ 4) = 1$

Então, temos que calcular a integral:

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx$

Fazendo por partes, então:

$u=f(x)=>du=f'(x)dx$

$dv=e^xdx=>v=e^x$

Assim:

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =f(x)e^x|\limits^{ln\ 4}_0-\int\limits^{ln\ 4}_0 {f'(x)e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =f(ln\ 4)e^{ln\ 4}-f(0)e^0-\int\limits^{ln\ 4}_0 {f'(x)e^x} \, dx$

Lembre-se que: $e^{ln\ 4} = 4\\\e^0=1$ Assim:

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-f(0) -\int\limits^{ln\ 4}_0 {f'(x)e^x} \, dx$

Vamos aplicar integração por partes em: $\int\limits^{ln\ 4}_0 {f'(x)e^x} \, dx$ assim,

$u=f'(x)=>du=f''(x)dx$

$dv=e^xdx=> v=e^x$

Assim, temos que:

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-f(0)-[f'(x)e^x|\limits^{ln\ 4}_{0}- \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx ]$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-f(0)-[f'(ln\ 4)e^{ln\ 4} - f'(0)e^0- \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx ]$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-f(0)-[4f'(ln\ 4) - f'(0)- \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx ]$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-f(0)-4f'(ln\ 4) + f'(0) + \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4f(ln\ 4)-4f'(ln\ 4) -f(0) + f'(0) + \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4[f(ln\ 4)-f'(ln\ 4)] -[f(0) - f'(0)] + \int\limits^{ln\ 4}_0 {f''(x)e^x} \, dx$

Substituindo as expressões dadas:

$f''(x) = -1f(x)\\\f(0)-f'(0)=-1\\\f(ln\ 4)-f'(ln\ 4)=1$

Temos que:

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4[1] -[-1] + \int\limits^{ln\ 4}_0 {(-1f(x))e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =4+1 - \int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =5 - \int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx +\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =5$

$2\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =5$

$\int\limits^{ln\ 4}_0 {f(x)e^x} \, dx =\frac{5}{2}$