Question

Qual o valor da espressao:
A= Cos 12° + Cos 25° + ... + Cos 142° + Cos 155° + Cos 168° 

Answer 1

Resposta:

0.

Explicação passo-a-passo:

Olá

Sabe-se que, por soma dos arcos

$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$

Dessa forma, se substituirmos a por 180º e b por x, temos

$\cos(180^{\circ}-x) = \cos(180^{\circ})\cos(x) + \sin(180^{\circ})\sin(x)$

Conhecendo os valores de $\cos(180^{\circ}) = -1$ e $\sin(180^{\circ}) = 0$, temos

$\cos(180^{\circ}-x) = (-1)\cdot\cos(x) + 0\cdot\sin(x)\\\\\\ \cos(180^{\circ}-x) = -\cos(x)$

Assim, para cada um dos ângulos, que são menores que 180º, temos um valor associado

Ou seja, utilizando $\cos(168^{\circ})$ como exemplo, seu correspondente seria $\cos(180^{\circ}-168^{\circ}) = -\cos(12^{\circ})$

Se quiser, mostrarei quais são todos os valores pertencentes ao conjunto de dados

$\cos(12^{\circ}),\cos(25^{\circ}),\cos(38^{\circ}),\cos(51^{\circ}),\cos(64^{\circ}),\cos(77^{\circ}),\cos(90^{\circ}),\cos(103^{\circ}),\cos(116^{\circ}),\cos(129^{\circ})\\\\ cos(142^{\circ}),\cos(155^{\circ}),\cos(168^{\circ})$

Portanto, fica fácil perceber que todos irão se cancelar, menos o termo central, que não tem um valor oposto a ele

$\cos(12^{\circ})-\cos(12^{\circ})+\cos(25^{\circ})-\cos(25^{\circ})+\cos(38^{\circ})-\cos(38^{\circ})+\cos(51^{\circ})-\cos(51^{\circ})+\cos(64^{\circ})-\cos(64^{\circ})+\cos(77^{\circ})-\cos(77^{\circ})+\cos(90^{\circ})$

Cancelando os valores, nos sobra

$\cos(90^{\circ})$

Por sua vez, ao conhecermos a circunferência trigonométrica, sabemos que seu resultado é igual a zero.