Question

Qual o valor da área:

Answer 1

Temos a seguinte curva e algumas retas:

$\sf 4 - \frac{x {}^{2} }{4} , \: \: y = 0,\: \: x = 2,\: e \: x = - 2$

Se formos fazer o gráfico dessa função, teremos que a mesma será uma parábola com concavidade voltada para baixo e intersecção com o eixo "y" no ponto 4 e intersecção com o eixo "x" no pontos 4 e -4. Note que a questão nos fornece duas retas que são paralelas ao eixo "y", o que limita essa função a uma área que corresponde ao intervalo de -2 à 2. Então já podemos dizer que:

$\sf \int_{ - 2}^{2} [ f(x) - g(x)] dx$

Agora devemos subtrair a função que está acima, pela função que está abaixo, ou seja, a equação da curva menos a reta y = 0, então:

$\sf \int_{ - 2}^{2} \left(4 - \frac{x {}^{2} }{4} - 0 \right)dx \longleftrightarrow \int_{ - 2}^{2}4 - \frac{ {x}^{2} }{4} dx$

Vamos integrar essa função que obtemos através da subtração acima. Primeiro vamos lembrar que a integral da soma ou subtração é igual a soma ou subtração das integrais de cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{\sf \int [f(x) \pm g(x)] dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int_{ - 2}^{2}4dx - \int_{0}^{2} \frac{x {}^{2} }{4} dx$

Outra propriedade de podemos aplicar é a da transitividade da constante:

$\boxed{ \sf \int k.f(x)dx = k \int f(x)dx}$

Aplicando a propriedade:

$\sf 4\int_{0}^{2} 1dx - \frac{1}{4}\int_{0}^{2}x {}^{2} dx$

Para finalizar a integração devemos aplicar mais uma "propriedade" chamada de regra da potência, dada por:

$\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1}$

Aplicando a propriedade:

$\sf 4. \frac{ {x}^{0 + 1} }{0 + 1} \begin{array}{c|c} &2\\ \\&0 \end{array} - \frac{1}{4} .\frac{x {}^{2 + 1} }{ 2+ 1} \begin{array}{c|c} &2\\ \\&0 \end{array} \\ \\ \sf 4x- \frac{x {}^{3} }{12}\begin{array}{c|c} &2\\ \\&0 \end{array} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar de fato a questão, devemos aplicar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\boxed{ \sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)}$

Ou seja, devemos substituir os limites na função que obtemos, primeiro o máximo e depois o mínimo:

$\sf 4.2 - \frac{2 {}^{3} }{12} - 4.( - 2) + \frac{( - 2) {}^{3} }{12} \\ \\ \sf 8 - \frac{8}{12} + 8 - \frac{8}{12}{} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 16 - \frac{16}{12} \longleftrightarrow \frac{16.12 - 16}{12} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{192 - 16}{12} \longleftrightarrow \frac{176}{12} \longleftrightarrow \boxed{\sf\frac{ 44 }{3} }\:$

Portanto podemos concluir que a área formada é igual a:

$\boxed{\sf \frac{44}{3}u.a \: \: \: ou \: \: \: \approx 14,67u.a}$

Espero ter ajudado