Question

qual o ultimo termo do desenvolvimento de (2x+3y)8 ?

Answer 1

Você pode ir escrevendo (x+y)², (x+y)³, etc. e você vai perceber um certo padrão no binômio. Newton escreveu uma fórmula geral para essas expressões (binômio de Newton). Quando desenvolvemos um binômio qualquer, temos algo dessa forma:
$E = (ax + by)^n \\ \Rightarrow E = \binom{n}{n}(ax)^n \cdot (by)^0 + \binom{n}{n-1}(ax)^{n-1} \cdot (bx)^1 + ... + \binom{n}{0}(ax)^0 \cdot (by)^n$

Generalizando:
$(ax+by)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{n-p} (ax)^{n-p} \cdot (by)^p$

Pode parecer estranho, mas dê uma pesquisada sobre essa matéria e você vai entender bem.

Ou seja, enquanto o coeficiente de x decresce de n para 0, o coeficiente de y cresce de 0 para n. É claro que você pode escolher escrever "da esquerda para a direita" e vice-versa, porque é uma soma e nós podemos alterar a ordem dos termos.

No problema:
$E = (2x+3y)^8 \\ \Rightarrow E = \binom{n}{0}(2x)^8 \cdot (3y)^0 + ... + \binom{n}{n}(2x)^0 \cdot (3y)^8$

Resposta: o último termo é $(3y)^8$.