Question

Qual o trabalho realizado por uma força F = (2xN)i+(3N)j, com x em metros, que desloca uma partícula da posição ri = (2m)i+(3m)j para uma posição rj = -(4m)i-(3m)j?

Answer 1

O trabalho realizado pela força é

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}W = \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} =6\text{ J} \end{gathered}$

O trabalho realizado por uma força é dado por uma integral de linha

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}W = \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}\end{gathered}$

Onde C é o caminho percorrido pelo objeto, porém um detalhe sempre importante de ver é se a força é um campo conservativo, ou seja

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\nabla \times \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \text{campo conservativo}\end{gathered}$

A afirmação acima só é verdadeira quando o domínio de F é conexo.

O rotacional de um campo é definido como

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\nabla \times \vec{F} = \left|\begin{array}{c c c}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\ \\\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ \\P & Q & R\end{array}\right|\end{gathered}$

Se o campo for nulo na terceira dimensão o rotacional se simplifica para

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\nabla \times F = \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k} \end{gathered}$

Se o rotacional for nulo isso implica que o campo é conservativo e portanto ele admite função potencial, ou seja, o trabalho realizado pela força independe do caminho, apenas do ponto inicial e final e se relaciona com a força da seguinte maneira

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{F} = -\nabla \varphi\end{gathered}$

A força é o negativo do gradiente do potencial, agora vamos verificar se nossa força é conservativa

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{F} = \left(2x, 3, 0\right)\end{gathered}$

Portanto seu rotacional é

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\nabla \times F = \left(\dfrac{\partial}{\partial x}(3) - \dfrac{\partial}{\partial y}(2x)\right)\hat{k} = 0 \end{gathered}$

Portanto nosso campo é conservativo! então vamos encontrar sua função potencial, sabemos que

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}2x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x}\\ \\3 = -\frac{\partial \varphi}{\partial y}\end{cases}\end{gathered}$

Integrando na equação de baixo obtemos

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\varphi\left(x,y\right) = -\int 3\, dy \Rightarrow \varphi\left(x,y\right) = -3y + f(x)\end{gathered}$

Agora vamos integrar a equação de cima

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\varphi\left(x,y\right) = -\int 2x\, dx \Rightarrow \varphi\left(x,y\right) = -x^2 + f(y)\end{gathered}$

Com isso podemos visualizar que f(x) = f(y) = 0, logo

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\varphi\left(x,y\right) = -x^2 -3y\end{gathered}$

Onde se verifica a relação

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{F} = -\nabla \varphi\end{gathered}$

Logo o trabalho realizado é dado simplesmente pela expressão

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}W = \varphi\left(x,y\right) - \varphi\left(x_0,y_0\right)\end{gathered}$

Substituindo os pontos na nossa função potencial temos que o trabalho é

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}W = \varphi\left(-4,-3\right) - \varphi\left(2,3\right)\\ \\W = \left(\left(-4\right)^2 -3\left(-3\right)\right) - \left(\left(2\right)^2 -3\left(3\right)\right) \\ \\W = 6\text{ J}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários