Question

Qual o termo independente no desenvolvimento do binômio?

Answer 1

x³ + 2x² - 3x - 5  |   x² + x - 2  

 -x³ -   x² + 2x           x + 1

   0     x² -  x -  5

         -x² - x  + 2

          0  - 2x - 3

Quociente  x + 1

Resto   -2x - 3

Answer 2

➜O termo independente no desenvolvimento do Binômio dado é 720.

☞ Binômio de Newton

$\Large{\text{ \displaystyle\boxed{( p+q)^{n} =\sum _{r=0}^{n}\binom{n}{r} \cdotp p^{n-r} \cdotp q^{r}} }}$

☞ Lembrando que $\large{\displaystyle\binom{n}{r} =\frac{n!}{( n-r) !r!}}$

♦︎ Aqui temos

$\Large{\text{ \displaystyle \begin{cases}p=2x^{2}\\q=-\frac{3}{x^{3}} =-3x^{-3}\\n=5\end{cases} }}$

♦︎ Então

$\large{ \begin{array}{l}\displaystyle\left( 2x^{2} -3x^{-3}\right)^{5} =\sum _{r=0}^{5}\binom{5}{r} \cdotp \left( 2x^{2}\right)^{5-r} \cdotp \left( -3x^{-3}\right)^{r} =\\\\=\displaystyle\sum _{r=0}^{5}\binom{5}{r} \cdotp 2^{5-r} x^{10-2r} \cdotp ( -3)^{r} \cdotp x^{-3r}\\\\=\displaystyle\sum _{r=0}^{5}\binom{5}{r} \cdotp x^{10-5r} \cdotp 2^{5-r} \cdotp ( -3)^{r}\end{array}}$

♦︎ O termo independente é o coeficiente do termo cujo expoente de x é 0.

Para $\large{x^{10-5r}=x^0}$, temos $\large{10-5r=0 \Rightarrow r=2}$

E para r = 2, temos

$\large{\text{ \begin{array}{l}\binom{5}{2} \cdotp x^{10-5( 2)} \cdotp 2^{5-2} \cdotp ( -3)^{2} =\frac{5!}{( 5-2) !\cdotp 2!} \cdotp x^{0} \cdotp 2^{3} \cdotp 9=\\\\=\frac{5\cdotp 4\cdotp 3!\cdotp 8\cdotp 9}{3!\cdotp 2}\\\\=\boxed{\boxed{720}}\end{array} }}$

∴ O termo independente é 720__✍️

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