Question

qual o termo geral dessa sequência (-1,2,7,14,23...)

Answer 1

Obs.: Caso não consiga visualizar o código Latex, há três arquivos de imagem no final desta resposta, cujo conteúdo é exatamente o que vem a seguir.


Consideremos a seguinte sequência $(a_{n}):$

$(-1,\;2,\;7,\;14,\;23,\;\ldots)$

com $n=1,\;2,\;3,\;\ldots$


A partir da sequência dada, podemos obter uma nova sequência $(b_{n}),$ cujo termo geral é dado pela diferença entre dois termos consecutivos da sequência $(a_{n}):$

$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\,\;\;\;\;\;n=1,\;2,\;3,\;\ldots$


Listando os termos da nova sequência $(b_{n}),$ temos

$(2-(-1),\;7-2,\;14-7,\;23-14,\;\ldots)\\ \\ (3,\;5,\;7,\;9,\;\ldots)$


Observamos que $(b_{n})$ é uma progressão aritmética de razão $r=2.$ A lei de formação para $(b_{n})$ é

$b_{n}=3+(n-1)\cdot 2\\ \\ b_{n}=3+2n-2\\ \\ b_{n}=2n+1\,,\;\;\;\;\;\;n=1,\;2,\;3,\;\ldots$

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Tínhamos que

$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$


Aplicando somatório dos dois lados, temos

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{b_{k}}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}$

(o somatório poderia ser até $n,$ mas fiz até $(n-1),$ para evitar ter de mudar os índices no final da resposta.)


A soma do lado esquerdo é a soma de uma progressão aritmética:

$\dfrac{(b_{1}+b_{n-1})\cdot (n-1)}{2}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}\\ \\ \\ \dfrac{[3+(2n-1)]\cdot (n-1)}{2}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}\\ \\ \\ \dfrac{(2n+2)\cdot (n-1)}{2}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}\\ \\ \\ \dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (n+1)\cdot (n-1)}{\diagup\!\!\!\! 2}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}\\ \\ \\ (n+1)\cdot (n-1)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}\\ \\ \\ n^{2}-1=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_{k+1}-a_{k})}$


A soma do lado direito é uma soma telescópica. Ao desenvolver o somatório, os termos intermediários se cancelam, e ficamos apenas com:

$n^{2}-1=a_{n}-a_{1}\\ \\ n^{2}-1=a_{n}-(-1)\\ \\ n^{2}-1=a_{n}+1\\ \\ a_{n}=n^{2}-1-1\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} a_{n}=n^{2}-2 \end{array}}\;\;\;\;\;\;\text{com }n=1,\;2,\;3,\;\ldots$