Question

Qual o terceiro termo não nulo da expansão em série de Maclaurin de f(x) = cos x ?

x

numerador x à potência de 4 sobre denominador 4 fatorial fim da fração

1

numerador menos x ao cubo sobre denominador 3 fatorial fim da fração

Answer 1

Utilizando a seria de Maclaurin, temos que este termo é dado por $\frac{x^{4}}{4!}$.

Explicação passo-a-passo:

A serie de Maclaurin é dada pela seguinte formula:

$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{d^{n}f(0)}{dx^{n}}\frac{x^{n}}{n!}$

E sabemos que toda derivada impar de cosseno resulta em seno e senos de 0 são 0, ou seja, se não queremos os termos nulos, então temos que pegar somente os indices n que forem pares, pois assim teremos somente cossenos.

Seguinte os números pares teremos: 0, 2 e 4. Assim temos que quando n=4, teremos o terceiro termo não nulo da serie de Maclaurin, então basta substituirmos:

$\frac{d^{n}f(0)}{dx^{n}}\frac{x^{n}}{n!}$

$\frac{d^{4}cos(x)}{dx^{4}}\frac{x^{4}}{4!}$

Como a derivada 4 de cosseno é simplesmente cosseno, então:

$cos(0)\frac{x^{4}}{4!}$

$1.\frac{x^{4}}{4!}$

$\frac{x^{4}}{4!}$

Assim temos que este termo é dado por $\frac{x^{4}}{4!}$.