Question

Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 7500,00, aplicado a uma taxa efetiva de 3% ao mês, duplique seu valor? (Use log⁡2=0,3010 e log1,03=0,0128)

Answer 1

Digamos que esse problema seja referente a Juros Compostos, então temos que o Capital é 7500 reais e a taxa é igual a 3% a.m, pergunta-se o tempo para que esse capital duplique.

• A interpretação da questão é você notar que a duplicação do capital gerará o montante, ou seja, se o Capital é C, o Montante será 2C, então:

$\sf M = C . (1 + i)^t \\ \sf 2 C = C . (1 + i)^t \\ \sf 2.(7500) = 7500.(1 + 3 \%) {}^{t} \\ \sf \frac{2. \cancel{(7500)}}{ \cancel{7500}} = (1 + 0,03) {}^{t} \\ \sf 2 = 1,03 {}^{t}$

Nesse momento podemos pensar que não terá como achar o tempo, mas tem sim, basta você aplicar Log dos dois lados da equação.

$\sf log(2) = log(1,03) {}^{t}$

Agora podemos aplicar a propriedade de log que nos permite trazer o expoente para frente do Log:

$\sf log_{a}(bc) {}^{n} = n. log_{a}(bc)$

Aplicando:

$\sf log(2) = t. log(1,03) \\ \sf t = \frac{ log(2) }{ log(1,03) }$

A questão nos informa o valor do Log de 1,03 e 2, então vamos substituir:

$\sf t = \frac{0,3010}{0,0128} \\ \boxed{\sf t = 23,5 \: meses}$

Espero ter ajudado