Question

Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?

Answer 1

Temos a Fórmula:

M = C(1 + i)^n

Onde

M = Montante da aplicação, neste caso pretendemos que M = 2C

C = Capital Inicial da aplicação, neste caso C = C

i = Taxa de juro da aplicação, neste caso MENSAL 3% ...ou 0,03 (de 3/100)

n = Prazo da aplicação, expresso em períodos da taxa, neste caso a determinar

Resolvendo:

2C = C(1 + 0,03)^n

2C/C = (1, 03)^n

2 = (1,03)^n

...aplicando as propriedades dos logaritmos..

Log 2 = n . Log 1,03

0,693147 = n . 0,029559

0,693147/0,029559 = n

23,4497 = n <----Prazo em meses 24 meses

..note que o período de capitalização é mensal e a duplicação do capital só é atingida no 24º período de capitalização 

...no entanto pode haver gabaritos que não consideram essa situação e pretendem o "período exato".  assim o "período exato" seria 23 meses e 13 dias..

.........

No caso de Juro Simples teríamos:

Fórmula:

M = C(1 + i . n)

Sabemos que:

M = 2C

C = C

i = 0,03

n = a determinar

Resolvendo:

2C = C(1 + 0,03 . n)

2C/C = (1 + 0,03n)

2 = 1 + 0,03n

2 - 1 = 0,03n

1 = 0,03n

1/0,03 = n

33,33(3) = n <---- O prazo em Juro Simples seria de 34 meses (veja justificação do arredondamento no juro composto).

...Prazo "exato" = 33 meses + 10 dias

Espero ter ajudado

Answer 2

Na modalidade de juros compostos, será necessário 24 meses para duplicar o capital e na modalidade de juros simples, 34 meses.

Considerando a modalidade de juros compostos, temos que o montante final (M) é dado por:

M = C . (1 + i)ⁿ

onde:

C é o capital inicialmente aplicado;

i é a taxa de juros;

n é o período de aplicação.

Nesse caso, temos que a taxa de juros é de i = 3% ao mês e queremos duplicar o valor aplicado inicialmente, logo, temos que M = 2C. Assim, aplicando na equação, temos que:

2C = C . (1 + 0,03)ⁿ

2 = 1,03ⁿ

log(2) = n . log(1,03)

n = 23,45 meses ≈ 24 meses

Caso considerássemos a modalidade de juros simples, o período necessário seria de:

M = C (1 + i . n)

2C = C (1 + 0,03 . n)

2 = 1 + 0,03n

n = 33,33 meses ≈ 34 meses

Para saber mais:

https://brainly.com.br/tarefa/49687542

Espero ter ajudado!