Question

Qual o sétimo termo da PA ( -4,1,6,11,...)

Answer 1

$a_n=a_7=? \\ a_1=-4 \\ n=7 \\ r=1-(-4)=1+4=5 \\ \\ Termo~~geral \\ \\ a_n=a_1+(n-1)r \\ \\ a_7=-4+(7-1)(5) \\ a_7=-4+(6)(5) \\ a_7=-4+30 \\ \\ a_7=26$

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-4, 1, 6, 11,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 5 unidades (por exemplo, 1=-4+5 e 6=1+5). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -4 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)sétimo termo (a₇): ?

e)número de termos (n): 7

• Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 7ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, aproximando-se  e, posteriormente, afastando-se à direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o quarto termo é positivo e a ele e aos próximos será somado sempre um valor positivo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 1 - (-4) ⇒

r = 1 + 4 ⇒

r = 5      (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o sétimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₇ = -4 + (7 - 1) . (5) ⇒  

a₇ = -4 + (6) . (5) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₇ = -4 + 30 ⇒

a₇ = 26

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O sétimo termo da P.A. (-4, 1, 6, 11, ...) é 26.

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VERIFICAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₇ = 26 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

26 = a₁ + (7 - 1) . (5) ⇒

26 = a₁ + (6) . (5) ⇒

26 = a₁ + 30 ⇒

26 - 30 = a₁ ⇒  

-4 = a₁ ⇔              (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -4                   (Provado que a₇ = 31.)

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