Question

Qual o(s) valor(es) de x, de modo que a sequência (9x – 1, 2x + 2, x² – 1) formem, nesta ordem, uma P. A. Decrescente? *.

Answer 1

A razão de uma P.A. pode ser obtida ao pegarmos um termo qualquer e subtrairmos o seu antecessor.

Então a razão desta P.A. pode ser dada pela expressão:

$r=(2x+2)-(9x-1)$

$r=2x+2-9x+1$

$r=-7x+3$

Ou então pela expressão:

$r=(x^2-1)-(2x+2)$

$r=x^2-1-2x-2$

$r=x^2-2x-3$

Ambas as expressões acima representam a mesma razão, logo são iguais entre si:

$x^2-2x-3=-7x+3$

$x^2-2x-3+7x-3=0$

$x^2+5x-6=0$

Aplicamos Bhaskara para encontrar os possíveis valores de "x":

$\triangle=b^2-4.a.c=5^2-4.1.(-6)=25+24=49$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle} }{2a}=\frac{-5+\sqrt{49} }{2}=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\triangle} }{2a}=\frac{-5-\sqrt{49} }{2}=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6$

Encontramos dois valores possíveis para "x", mas calma lá. Queremos os valores que formam uma P.A. decrescente, isto é, uma P.A. cuja razão é negativa.

Se pegarmos o valor $x_1=1$ a razão da P.A. será:

$r=-7x+3\\r=-7\cdot 1+3\\r=-7+3\\r=-4$

Se pegarmos o valor $x_2=-6$ a razão da P.A. será:

$r=-7x+3\\r=-7\cdot (-6)+3\\r=42+3\\r=45$

Assim apenas o valor de $x_1$ forma uma P.A. decrescente, concluímos então que x = 1