Question

qual o retangulo de perimetro 20cm tem a maior area?

Answer 1

Olá, Leogs25.

Perímetro:

$2x + 2y = 20 \Rightarrow 2(x+y)=20 \Rightarrow\\\\ x+y=10\Rightarrow y=10-x$

Maximizar a área do retângulo é o mesmo que maximizar o produto $xy,$ que é igual a:
 
$xy=x(10-x)=10x-x^2$

Chamemos esta função obtida de f(x).
A derivada de f(x) é dada por:

$f'(x) = 10 - 2x$

O valor de f(x) é máximo onde sua derivada se anula, pois f(x) é uma parábola com a concavidade para baixo.

Assim:

$f'(x)=0\Rightarrow10-2x=0\Rightarrow\,\boxed{x=5} \Rightarrow\\\\5+y=10\Rightarrow\boxed{y=5}$

O retângulo de perímetro 20 cm que possui a maior área é, portanto, o quadrado de lados $\boxed{x=y=5\,cm}.$