Matemática, perguntado por apddefreitasf, 4 meses atrás

qual o resultado de ∫ cos (x+1) dx

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor da integral de cos(x+1) em relação à variável "x" é igual a sin(x+1) + C.

Integrais indefinidas:

Integral indefinida é o conjunto de infinitas primitivas que uma função pode ter. É representado pela notação $\displaystyle \int f(x) dx$ .

Isto é lido como "a integral indefinida de f(x) em relação a x" Portanto, f(x) dx é um conjunto de funções; não é uma função única, nem um número.

A função f sendo integrada é chamada de integrando, e a variável x é chamada de variável de integração. C é a constante de integração e pode assumir qualquer valor numérico real. Se F(x) é uma primitiva de f(x), temos:

$\displaystyle \int F(x) = f(x)+C$

Para verificar se a primitiva de uma função está correta, basta derivar o valor dessa integral enquanto e quando conhecemos o valor da constante de integração.

Levando isso em consideração podemos resolver nosso problema.

O problema nos pede para encontrar o valor da integral de cos(x + 1).

Para encontrar a integral da nossa função devemos considerar que o valor da integral do cosseno é igual a:

$\displaystyle \int \cos(x) dx=\sin(x)+C$

Para resolver nossa integral podemos tentar fazer uma mudança de variáveis, o que faremos é trocar a expressão "x+1" por uma variável aleatória, no meu caso usarei a variável "u".

Quando levamos em conta esta variável devemos também levar em conta seu diferencial, para isso podemos derivar a variável "u" em relação a "x". Fazendo isso obtemos:

$\dfrac{du}{dx} u = x + 1\\\\ \dfrac{du}{dx} = 1 +0~\to~\dfrac{du}{dx} = 1\\\\ du = dx$

Vemos que a derivada de nossa variável aleatória é a mesma derivada em relação a "x" de nossa expressão, agora o que podemos fazer é realizar a substituição de variável. Fazendo isso, obtemos a integral:

$\displaystyle \int \cos(u) du~\to ~ \sin(u)+C$

Como já resolvemos nossa integral em relação a nossa variável aleatória, agora o que segue é substituir a variável "u" pela expressão que escolhemos, fazendo isso concluímos que nossa integral é igual a:

$\displaystyle \boxed{\boxed{ \sin(x+1)+C}}~\Longrightarrow ~Resposta \checkmark$