Question

Qual o resultado da expressão numérica 5³: 5.5⁴: 5.5: 5: 5 -5?

Answer 1

Resposta final: 120

• Observação: essa questão é de uma prova de concurso do FCC (Fundação Carlos Chagas) aplicada em 2014. Uma imagem do enunciado completo foi adicionado em anexo.

A resolução será apresentada depois das explicações importantes para compreender a questão.

• Informações importantes: para a resolução dessa questão é essencial conhecer as propriedades dos cálculos com potências de base igual, mais especificamente os que envolvem divisão e multiplicação.

Considere o seguinte modelo de potência: $\mathsf{a^b}$

Nesse modelo, a letra a representa a base ("o que fica embaixo") e letra b representa o expoente.

Na multiplicação de potências com uma mesma base (letra a) os expoentes (ficam na letra b do modelo) são somados. Exemplos:

1. $\mathsf{a^{b}\cdot a^c=a^{b+c}}$
2. $\mathsf{5^1\cdot5^5=5^{1+5}=5^6}$
3. $\mathsf{5^1\cdot5^4=5^{1+4}=5^5}$

Na divisão de potências com uma mesma base (letra a) os expoentes (ficam na letra b do modelo) são subtraídos. Exemplos:

1. $\mathsf{a^b\div a^c=a^{b-c}}$
2. $\mathsf{5^3\div5^1=5^{3-1}=5^2}$
3. $\mathsf{5^5\div5^1=5^{5-1}=5^4}$

• Dica: Para facilitar a compreensão, podemos associar a divisão com a subtração (já que ambos "diminuem o número inicial") e a multiplicação com a soma (já que ambos "aumentam o número inicial").

Nota: quando um número não mostra seu expoente, podemos assumir que ele é igual a 1 (já que todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo).

Resolução

$\mathsf{5^3\div5\cdot5^4\div5\cdot5^5\div5\div5^6-5}$

Para a primeira resolução estarei agrupando multiplicações e divisões para facilitar, todavia, é possível seguir a ordem de leitura (como é mais convencional, apesar de demorar mais).

Destaco que no agrupamento, mais especificamente na parte da divisão, o primeiro 5 tinha de ser negativo para fazer sentido com sua condição de "divisão" (subtraindo expoentes).

$\mathsf{5^3\div5\cdot5^4\div5\cdot5^5\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{\left(5^3\cdot5^4\cdot5^5\right)\left(5^{-1}\div5^1\div5^1\div5^6\right)-5=}\\\\ \mathsf{\left(5^{3+4+5}\right)\left(5^{-1-1-1-6}\right)-5=}\\\\ \mathsf{\left(5^{12}\right)\left(5^{-9}\right)-5=}\\\\ \mathsf{5^{12-9}-5=}\\\\ \mathsf{5^{3}-5=}\\\\ \mathsf{125-5=}\\\\ \mathsf{120}$

Segue a resolução convencional:

$\mathsf{5^3\div5\cdot5^4\div5\cdot5^5\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{3-1}\cdot5^4\div5\cdot5^5\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{2+4}\div5\cdot5^5\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{6-1}\cdot5^5\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{5+5}\div5\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{10-1}\div5^6-5=}\\\\ \mathsf{5^{9-6}-5=}\\\\ \mathsf{5^{3}-5=}\\\\ \mathsf{125-5=}\\\\ \mathsf{120}$

A resposta final é 120.