Question

Qual o resultado da derivação para 4x^3 . y^2 = e^xy?

Answer 1

Utilizando derivação implícita, temos que, $y' = \dfrac{-12x^2 y^2 + y e^{xy}}{8x^3 y - xe^{xy}}$, alternativa D.

Derivação implícita

O método de derivação implícita é utilizado quando queremos calcular a derivada de uma função descrita na forma implícita, ou seja, F(x, y) = G(x, y). Para calcular a derivada de y em relação a x derivamos ambos os lados da igualdade e isolamos o valor da derivada.

Para calcular a derivada da função dada, devemos utilizar a regra da derivação do produto, a regra da cadeia (funções compostas) e as derivadas da função exponencial e de uma função polinomial. Dessa forma, derivando ambos os lados da igualdade, podemos escrever:

$\dfrac{d}{dx} (4x^3 y^2) = \dfrac{d}{dx} (e^{xy})$

$4(3x^2 y^2 + 2y y' x^3) = e^{xy} (y + xy')$

Isolando o valor da derivada de y em relação a x, obtemos o resultado:

$y' =  \dfrac{-12x^2 y^2 + y e^{xy}}{8x^3 y - xe^{xy}}$

A alternativa correta é a alternativa D.

Para mais informações sobre derivação implícita, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/23768212

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