Question

Qual o resto da divisao por 6 do numero 543^22

Answer 1

Primeiro, vamos mostrar que qualquer potência de  3  com expoente natural positivo deixa resto  3  na divisão por  6.


     •  Caso base:  Para  n = 1,

          $\mathsf{3^1=3=6\cdot 0+3}$        ✔


     •  Por hipótese de indução, assuma que para dois naturais  k, q,  k ≥ 1,  vale

          $\mathsf{3^k=6q+3}$


     •  Passo indutivo:

     Multiplicando os dois lados por  3,  obtemos

          $\mathsf{3^k\cdot 3=(6q+3)\cdot 3}\\\\ \mathsf{3^{k+1}=6q\cdot 3+3\cdot 3}\\\\ \mathsf{3^{k+1}=6\cdot (3q)+9}$


     Escreva  9  como  6 + 3:

          $\mathsf{3^{k+1}=6\cdot (3q)+6+3}\\\\ \mathsf{3^{k+1}=6\cdot (3q+1)+3}$

          $\mathsf{3^{k+1}=6q'+3}$          ✔

     sendo  q' = 3q + 1  um número natural.


Assim, mostramos que qualquer potência de  3  com expoente natural positivo deixa resto  3  na divisão por  6.


Podemos escrever a afirmação acima em notação de congruência:

     $\mathsf{3^n\equiv 3\quad(mod~6)\qquad \forall~n\in\mathbb{N}^*.}$

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Resolvendo a questão:

Usando a divisão euclidiana de  543  por  6,  podemos escrever que

     543 = 540 + 3

     543 = 6 · 90 + 3


ou seja,

     $\mathsf{543\equiv 3\quad(mod~6)}$


Eleve os dois lados da congruência a  22:

     $\mathsf{543^{22}\equiv 3^{22}\equiv 3\quad(mod~6)}$


isto é,  existe algum natural  s  tal que

     $\mathsf{543^{22}-3=6s}\\\\ \mathsf{543^{22}=6s+3}$


Como  0 ≤ 3 < 6,  então o resto da divisão de  $\mathsf{543^{22}}$  por  6  é  3.


Resposta:  3.


Bons estudos! :-)