Question

Qual o resto da divisão do número (3^528 + 2^325) por 5?

^ : Esse "Chapéuzinho" que dizer que está elevado

Agradeço pela ajuda

Answer 1

Resposta: O resto da divisão de 3⁵²⁸ + 2³²⁵ por 5 é igual a 3 (três).

Explicação passo a passo:

Algumas propriedades da aritmética dos restos

Sejam $a,\,b,\,c,\,n,\,r,\,s$ números naturais, $c\ge 1.$

Suponha que $a$ deixa resto $r$ na divisão por $c$ e $b$ deixa resto $s$ na divisão por $c.$

Logo, existem $q_1,\,q_2$ naturais, tais que

     $a=q_1c+r\\\\ b=q_2c+s$

com $r,\,s\in\{0,\,1,\,\ldots,\,c-1\}.$

Valem as seguintes propriedades:

• [P.1]   $a+b$ deixa o mesmo resto que $r+s$ na divisão por $c.$

• [P.2]   $a\cdot b$ deixa o mesmo resto que $r\cdot s$ na divisão por $c.$

• [P.3]   $a^n$ deixa o mesmo resto que $r^n$ na divisão por $c.$

Calculando o resto de 3⁵²⁸ + 2³²⁵ por 5

Observemos que

     $2^4=16=3\cdot 5+1\\\\ 3^4=81=16\cdot 5+1$

Perceba que as potências $2^4$ e $3^4$ ambas deixam resto 1 na divisão por 5.

Logo, por [P.3], qualquer potência de 2 ou de 3 cujo expoente seja múltiplo de 4, também deixará resto 1 na divisão por 5.

Como 528 e 324 são múltiplos de 4, temos

     $3^{528}+2^{325}\\\\ =3^{528}+2^{324+1}\\\\ =3^{528}+2^{324}\cdot 2\\\\ =(3^{4\,\cdot\,132})+(2^{4\,\cdot\,81})\cdot 2\\\\ =(3^4)^{132}+(2^4)^{81}\cdot 2$

que deixa o mesmo resto que

     $1^{132}+1^{81}\cdot 2\\\\ =1+1\cdot 2=3$

na divisão por 5.

Logo, o resto da divisão de 3⁵²⁸ + 2³²⁵ por 5 é igual a 3 (três).

Bons estudos! :-)