Question

Qual o quociente entre 8+i/2-i ?

Answer 1

Numa divisão entre números complexos, se multiplica o numerador e do denominador pelo conjugado do denominador, que possui a mesma parte real e o simétrico aditivo da sua parte imaginária. Assim, temos:

8 + i/2 - i= (8 + i).(2 + i) /(2 - i). (2+i)=
=(8.2) + 8i + 2i + i²/(2 - i). (2 + i) =
= 16 + 10i + i²/(2 - i).(2 + i)

O denominador representa um produto notável, o mesmo de:
(x + y).(x - y) = x² - y²

Então temos:
16 + 10i + i²/2² - i² =
= 16 + 10i + i²/ 4 - i²

De acordo com a regra da potência de i: i² = - 1
Desse modo:
16 + 10i + (-1)/4 - (-1)=
16 + 10i - 1/4 + 1 =
15 + 10i/5= 15/5 + 10i/5

Simplificando tudo por 5 fica:
= 3 + 2i

Answer 2

Totinha

Efetuando a divisão devemos retirar a unidade imagina do denominador.
Para isso multiplicamos e dividimos pelo conjugado do denominador.
Veja

$\frac{(8+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \\ \\ = \frac{16+8i+2i+i^2}{2^2-i^2} \\ \\ = \frac{16+10i-1}{4-(-1)} \\ \\ = \frac{15+10i}{5} \\ \\ = \frac{15}{5} + \frac{10i}{5} \\ \\ =3+2i$