Question

Qual o produto da medida do segmento que une o ponto médio do lado AC ao baricentro e a medida do segmento que une o baricentro ao vértice B, de um triângulo de vértices: A = (1,-3), B = (6,4) e C = (2,5)?

Foto em anexo

Answer 1

Resposta:

O valor do produto das medidas dos segmentos é igual a 6.5, o que corresponde à alternativa D.

Explicação passo-a-passo:

De início, vamos encontrar o baricentro G do triângulo ABC. Para isso, podemos usar a fórmula a seguir, válida para qualquer triângulo:

$G=\dfrac{A+B+C}{3}\\\\G=\dfrac{(1,-3)+(6,4)+(2,5)}{3}\\\\G=\dfrac{(1+6+2,-3+4+5)}{3}\\\\G=\dfrac{(9,6)}{3}\\\\\boxed{G=(3,2)}$

Agora, seja M o ponto médio do lado AC. Então:

$M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{(1,-3)+(2,5)}{2}=\dfrac{(3,2)}{2}\\\\M=\left(\dfrac{3}{2},1\right)$

Com isso, vamos calcular os tamanhos dos segmentos mencionados no enunciado. Primeiro, o segmento que une o ponto médio de AC (M) ao baricentro (G):

$MG=\sqrt{(x_G-x_M)^2+(y_G-y_M)^2}\\\\MG=\sqrt{\left(3-\dfrac{3}{2}\right)^2+(2-1)^2}\\\\MG=\sqrt{(\left\dfrac{3}{2}\right)^2+1^2}\\\\MG=\sqrt{\dfrac{9}{4}+1}=\sqrt{\dfrac{13}{4}}\\\\\boxed{MG=\dfrac{\sqrt{13}}{2}}$

Calculando a medida do segmento restante, o qual une o baricentro G ao ponto B:

$BG=\sqrt{(x_B-x_G)^2+(y_B-y_G)^2}\\\\BG=\sqrt{(6-3)^2+(4-2)^2}\\\\BG=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}\\\\\boxed{BG=\sqrt{13}}$

Por fim, calculando o produto entre as medidas dos segmentos encontrados:

$MG\times BG=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\times\sqrt{13}\\\\MG\times BG=\dfrac{(\sqrt{13})^2}{2}=\dfrac{13}{2}\\\\\boxed{\boxed{MG\times BG=6.5}}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{D}$