Question

Qual o ponto crítico da função x^2 (x-1)^2/3

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre a determinação de pontos críticos de funções e derivação.

Devemos determinar os pontos críticos da função $f(x)=x^2\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}}$.

Lembre-se que o ponto crítico é aquela cuja a inclinação da reta tangente à curva neste ponto é igual a zero. Assim, devemos calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero.

Derivamos a função:

$(f(x))'=\left[x^2\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}}\right]'$

Lembre-se:

• A derivada do produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $[g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $[x^n]'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia:  $[g(h(x))]'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $[g(x)\pm h(x)]'=g'(x)\pm h'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=[x^2]'\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot [(x-1)^{\frac{2}{3}}]'$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot\dfrac{2}{3}\cdot [x-1]'\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}-1}$

Some os valores nos expoentes e aplique a regra da soma

$f'(x)=2\cdot x^{1}\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot \dfrac{2}{3}\cdot([x]'-[1]')\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos

$f'(x)=2\cdot x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot\dfrac{2}{3}\cdot (1\cdot x^{1-1}-0)\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}\\\\\\ f'(x)=2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}$

Então, igualamos esta derivada a zero:

$f'(x)=0\\\\\\2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}=0$

Multiplique ambos os lados da equação por $3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}$

$\left(2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}\right)\cdot3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}=0\cdot3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}\\\\\\ 6x\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}+2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=0\\\\\\ 6x\cdot(x-1)+2x^2=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$6x^2-6x+2x^2=0$

Some os termos semelhantes

$8x^2-6x=0$

Fatoramos a expressão à esquerda da igualdade

$2x\cdot(4x-3)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero. Assim, temos duas soluções possíveis:

$2x=0~~\bold{ou}~~4x-3=0$

Na primeira solução, divida ambos os lados da equação por $2$. Na segunda solução, some $3$ em ambos os lados da equação e divida por $4$.

$x=0~~\bold{ou}~~x=\dfrac{3}{4}$

Estes são os pontos críticos desta função. Observe o comportamento da função na imagem em anexo.