Question

Qual o perímetro do triângulo equilátero inscrito em
um círculo circunscrito a um quadrado de $2\sqrt{6} m$ de
lado?

Resposta: 18m

Answer 1

Observe os anexos !

No segundo anexo, vemos que o raio da circunferência circunscrita ao quadrado é igual à metade da sua diagonal.

Rc = Dq / 2
(Rc → Raio da circunferência circunscrita)

Das relações métricas, Dq = Lq * √2 
(Dq → Diagonal do quadrado e Lq → Lado do quadrado)...

R = Lq * √2 /2

Sendo Lq = 2 * √6 m :

R = 2 * √6 * √2 / 2

R = √6 * √2

R = √(6 * 2)

R = √12 m → Raio da circunferência !

A mesma circunferência circunscreve o triângulo equilátero. Temos uma relação métrica :

Rc = Lteq * √ 3
(Rc → Raio da circunferência circunscrita e Lteq → Lado do triângulo equilátero inscrito)

Como eu acredito que essa relação não é tão usual quanto a relação da diagonal do quadrado (é um pouco mais 'decorada'), eu pensei que é melhor demostrá-la nesse exemplo. 

No terceiro anexo, temos o triângulo retângulo :

Hipotenusa → Raio;
Catetos → Apótema do t. equilátero e metade do lado do t. equilátero...

Sendo ⇒
"L" → Lado do triângulo equilátero;
R = √12 m;
Ap → (Altura do t. equilátero) / 3 → (L * √3 / 2) / 3 = L * √3 / 6...

R² = (L/2)² + ( L * √3 / 6)² 

(√12)² = L²/4 + L² * 3 / 36

(√12)² = L² / 4 + L² / 12 ⇒ MMC : 12 →

(√12)² = (3 * L² + L²) / 12

(√12)² = 4 * L² / 12 ⇒ Simplificando :

(√12)² = L²  / 3

3 * (√12)² = L² ⇒ Extraindo a raiz quadrada dos dois lados :

√3 * √(√12)² = √L² ⇒ Expoente quadrático e raiz quadrada se cancelam :

√3 * √12 = L ⇒ Como visto na relação métrica 

L = √(12 * 3)

L = √36

L = 6 m → Lado do triângulo equilátero ! (descarta-se a raiz negativa) 

P(teq) = 3 * L 

(P → Perímetro do triângulo equilátero)

Sendo ⇒

L = 6 m 

P(teq) = 3 * 6 

P(teq) = 18 m → Perímetro do triângulo equilátero !