Question

Qual o passo a passo dessa integral? ∫(x²+x+1) / (x²+1)²

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo de integral

$\displaystyle\int \sf{\dfrac{x^2 + x + 1}{(x^2 + 1)^2}dx = I}$

vamos fazer pelo método de fracções parciais :

$\sf{ \dfrac{x^2+x+1}{(x^2 + 1)^2} ~=~ \dfrac{Ax + B}{x^2 + 1} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 1)^2} }$

fazendo o mmc :

$\sf{ \dfrac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2}~=~ \dfrac{(x^2+1)(Ax+B)}{(x^2+1)^2} + \dfrac{Cx + D}{(x^2+1)^2} }$

Reduzindo ao mesmo denominador :

$\sf{ \dfrac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2}~=~ \dfrac{Ax^3+Bx^2+Ax+B+Cx+D}{(x^2+1)^2} }$

$\sf{ \dfrac{\blue{1}x^2+\pink{1}x+\red{1} }{(x^2+1)^2}~=~\dfrac{Ax^3+\blue{B}x^2+\pink{(A+C)}x+\red{(B+D)} }{(x^2+1)^2} }$

Por comparação podemos ter :

$\begin{cases} \sf{ A~=~0 } \\ \\ \sf{B~=~1} \\ \\ \sf{ A+C~=~1} \\ \\ \sf{ B + D~=~1} \end{cases}~\to~ \begin{cases} \sf{A~=~0}\\ \\ \sf{ B~=~1} \\ \\ \sf{ C~=~1 - A } \\ \\ \sf{ D~=~1- B } \end{cases}$

$\begin{cases} \sf{ A~=~0 } \\ \\ \sf{ B~=~1 } \\ \\ \sf{ C~=~1 } \\ \\ \sf{ D~=~ 0} \end{cases}$

Reescrevendo a integral :

$\sf{ I~=}~ \displaystyle\int \sf{\left( \dfrac{Ax + B}{x^2 + 1} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 1)^2} \right)dx }$

Substituindo pelos valores achados :

$\sf{ I~=~} \displaystyle\sf{\int \left( \dfrac{0x + 1}{x^2+1} + \dfrac{ 1x + 0 }{(x^2+1)^2} \right)dx}$

Sabe-se que a integral da soma é a soma das integrais, portanto :

$\sf{I~=~} \displaystyle\int \sf{\dfrac{dx}{x^2+1} +} \sf{ \int\dfrac{xdx}{(x^2+1)^2}}$

Perceba caímos em duas integrais mais simples, que por sua vez a primeira é imediata, pela tabela das integrais poder-se-á ter :

$\sf{I~=~ \arctan(x) +} \displaystyle\int \sf{\dfrac{xdx}{(x^2+1)^2}}$

vamos chamar de $\sf{I_{0}}$ A segunda integral, ou seja :

$\sf{ I~=~ \arctan(x) + I_{0} }$

Vamos achar o $\sf{I_{0}}$ :

$\sf{I_{0}~=~\displaystyle\int \dfrac{xdx}{(x^2+1)^2}}$

Fazendo a substituição simples :

Supondo: $\sf{x^2+1~=~ n }$

$\sf{ dn ~=~ 2xdx \to \dfrac{1}{2}dn~=~ xdx }$

Substituindo vamos ter :

$\iff \sf{I_{0}~=~}\displaystyle\int \sf{\dfrac{\frac{1}{2}dn }{ n^2 }}$

$\iff \sf{ I_{0}~=~} \dfrac{1}{2}\displaystyle\sf{\int n^{-2} dn}$

$\iff \sf{ I_{0}~=~\dfrac{1}{2}* \dfrac{n^{-2+1}}{-2+1} }$

$\sf{ I_{0}~=~-\dfrac{1}{2}n^{-1}=-\dfrac{1}{2n} }$

Então:$\sf{ I_{0}~=~-\dfrac{1}{2(x^2+1)} }$

Logo :

$\iff \sf{ I~=~\arctan(x) - \dfrac{1}{(x^2+1)} + k, k\in \mathbb{R} }$

$\green{ \boxed{ \displaystyle\int \sf{\dfrac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2}dx~=~\arctan(x)-\dfrac{1}{2(x^2+1)} + k, k\in\mathbb{R} } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)