Question

Qual o número máximo de planos formados por 5 pontos distintos em que o número máximo de pontos coplanares é 3?

Answer 1

Ola! :) 

Primeiramente, é preciso saber que para pontos estarem no mesmo plano, é necessário no minimo considerar 3 pontos. Se voce considerar apenas 2, pode estar lidando com uma reta e não com um plano. 

Esse exercício é de Analise Combinatória e precisa desse conceito acima de geometria analítica em mente. 

Nesse caso, usaremos a fórmula de Combinação Simples para analisar as possibilidades, já que a ordem dos pontos não importa, por isso NÃO utilizamos a formula de arranjo simples. 

A formula é: C = n! / p! * (n-p)! onde:
n = elementos
p = agrupamentos. 

Para resolver isso, basta fazer uma combinaçao de 10 elementos em agrupamentos de 3. Porém, estariamos contando também planos sendo formados com os pontos que já estão no mesmo plano, o que não faz o menor sentido.
Portanto, é preciso subtrair depois os planos que poderiam ser formados com os pontos coplanares.


Planos formados por todos os pontos: 
C = 5! / 3! * (5-3)!
C = 5*4*3! / 3! * 2! (NOTE QUE 5! FOI ESCRITO COMO 5*4*3!)
C = 5*4/2 (NOTE QUE 3! NO NUMERADOR PODE SER DIVIDIDO PELO 3! NO DEMOMINADOR, RESULTANDO EM 1)
C = 20/2
C = 10 planos ao todo

Planos formados pelos pontos coplanares (que devem ser desconsiderados)
C = apenas 1, pois são 3 pontos.

Agora, a subtração 10 -1 = 9.

Porém, não se deve esquecer de somar o plano dos pontos coplanares
9 + 1 = 10.

É isso.