Question

Qual o número de soluções da equação cos²x + senx - 1 = 0, considerando que o intervalo seja de 0 a 2pi?

Answer 1

Nesse problema é necessária a utilização da seguinte propriedade:

$sen^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1$

Assim, nos termos do problemas:

$cos^{2} x=1-sen^{2}x$

Substituindo temos:

$(1-sen^{2} x)+senx-1=0$

$-sen^{2} x+senx=0$

Recaímos em uma equação do segundo grau.

Ela pode ter 1 ou 2 soluções, dependendo de Δ.

$delta= b^{2} -4ac$.

$delta= 1^{2} -4.-1.0$

$delta=1$

$delta\ \textgreater \ 0$, duas soluções diferentes e reais.

Porém, os valores resultantes dessa equação de segundo grau são os valores de $senx$, então o exercício não acaba aqui.

Resolvendo a equação do 2° grau por soma e produto.

$S= \frac{-b}{a}$

$S= \frac{-1}{-1} =1$

$P= \frac{c}{a}$

$P= \frac{0}{-1} =0$

Portanto, as raízes são $senx^{'} =0$ e $senx^{''} =1$.

Agora, resolvendo as equações obtidas:

$senx^{'}=0$

$x^{'} =0$, $x'= \pi$ e $x^{'} =2 \pi$

$senx^{''} =1$

$x^{''} = \frac{ \pi }{2}$.

$S=0, \frac{ \pi }{2} , \pi ,2 \pi$

Portanto, existem 4 soluções.