Qual o módulo do |-3|?
Qual o módulo de |5|?
Qual o módulo de |-12|?
Qual o módulo de |+a|?
Qual o módulo de |-x|?
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Função Modular
Por Emanuel Jaconiano e Thiago Salvador
Professores de Matemática do Colégio Qi
MÓDULO
Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: o que muda ao inserirmos um módulo à função?
Módulo
Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13.
Vejamos alguns outros exemplos:
|-4| = 4
|690| = 690
|23,41| = 23,41
|-log2| = log2
|78| = 78
|-π| = π
Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:
|x| = x, se x for positivo.
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática:
|x| = x, se x>0
|x| = -x, se x<0
EXEMPLOS
Resolva a equação |x² - 6x| = 9.
Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim,
−(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√
ou
x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3
Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.
Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:
Sabemos que:
→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0
Então:
→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6
E por fim,
→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)
Função Modular (Foto: Colégio Qi)
Gráfico I (Foto: Colégio Qi)
Gráfico II (Foto: Colégio Qi)
Gráfico II (Foto: Colégio Qi)
Com isso, o gráfico da função f(x) ficará da seguinte forma:
Funções (Foto: Colégio Qi)
(Foto: Colégio Qi)
Comparação entre o gráfico de f e a função 2x + 6:
Funções (Foto: Colégio Qi)
(Foto: Colégio Qi)
Repare que ao colocarmos o módulo na função 2x + 6, a parte negativa (x < -3) transformou-se em positiva. É essa a principal mudança quando inserimos o módulo na função: toda a parte negativa torna-se positiva.
Vamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:
De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:
Função Modular (Foto: Colégio Qi)
(Foto: Colégio Qi)
Como já vimos, ao inserir o módulo a parte negativa ficará positiva, então o gráfico de f(x) será:
Função Modular (Foto: Colégio Qi)
(Foto: Colégio Qi)
EXERCÍCIOS
(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução:
Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:
5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3
5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1
Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.
(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:
a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.
Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:
y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2
Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.
Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos:
|x²-2x| = 0
x² - 2x = 0
x (x-2) = 0
x = 0 ou x = 2
x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9
Resposta:0
1
2
3
4
Explicação passo-a-passo:se tiver errado não é minha culpa ^_^