Question

Qual o menor número natural que satisfaz a inequação x²+ 6x - 15 < 12
a) 5
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0

Answer 1

Resposta:  e) 0 (zero).

Explicação passo a passo:

Primeiramente, vamos encontrar o conjunto solução da inequação:

    $\begin{array}{l}x^2+6x-15 < 12\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+6x < 12+15\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+6x < 27 \end{array}$

Vamos completar o quadrado do lado esquerdo. Some $9=3^2$ a ambos os membros:

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad x^2+6x+9 < 27+9\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+6x+9 < 36\end{array}$

Identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2 < 36\\\\ \Longleftrightarrow\quad(x+3)^2 < 36\end{array}$

A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Logo, a desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos membros:

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad\sqrt{(x+3)^2} < \sqrt{36}\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x+3| < 6\end{array}$

Atenção! $\sqrt{a^2}=|a|$ (módulo de $a$), para todo $a\in\mathbb{R}.$

O módulo é menor que 6 para todos os números reais que estão entre -6 e 6, exclusive. Logo, devemos ter

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad -6 < x+3 < 6\end{array}$

Subtraia 3 de todos os membros:

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad -6-3\le x+\diagup\!\!\!\! 3-\diagup\!\!\!\! 3\le 6-3\\\\ \Longleftrightarrow\quad -9 < x < 3\qquad\checkmark\end{array}$

O conjunto solução são todos os reais maiores que -9 e menores que 3.

O menor número natural (isto é, inteiro não-negativo) que satisfaz essa condição é o 0 (zero).

Resposta: alternativa e) 0.

Bons estudos!