Qual o menor número ímpar que possui exatamente 10 divisores positivos incluindo o 1 e o próprio número?
a)1875
b)405
c) 390
d)330
e)105
Soluções para a tarefa
Resposta:
B)405
Explicação passo-a-passo:
Veja que um número "N" que, quando fatorado em seus fatores primos, dê, por exemplo: 2ⁿ . 3˟ . 5ʸ, a quantidade (q) de divisores desse número "N" será dada por:
q = (n+1)*(x+1)*(y+1) .
Tendo a relação acima como parâmetro, veja que estamos querendo o MENOR número ÍMPAR que possui exatamente 10 divisores. Se o número é ÍMPAR, então os fatores primos deverão ser também ímpares, necessariamente. Veja que os fatores primos ÍMPARES começam do "3", depois vai para o "5", depois para o "7", e por ai vai. Agora veja uma coisa importante: como a quantidade de divisores é "10" e considerando que temos que somar "1" unidade a cada expoente, então deveremos ter a seguinte fatoração quando fatorarmos o nosso menor número ímpar que vamos chamá-lo de "N".
N = 3⁴ * 5¹
Veja que se você somar "1" unidade a cada expoente vai obter exatamente "10" divisores, veja: (4+1)*(1+1) = (5)*(2) = 10
Assim, esse MENOR número ímpar, que tem 10 divisores (incluindo o "1" e o próprio número N) será:
N = 3⁴ * 5¹
N = 81 * 5
N = 405